Задача. Построить эпюры Q и M для статически неопределимой балки. Вычислим балки по формуле:

n = ΣR - Ш — 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Балка один раз статически неопределима, значит одна из реакций является «лишней» неизвестной . За «лишнюю» неизвестную примем реакцию опоры В — R В .

Статически определимая балка, которая получается из заданной путем удаления «лишней» связи называется основной системой (б).

Теперь эту систему следует представить эквивалентной заданной. Для этого загружаем основную систему заданной нагрузкой, а в точке В приложим «лишнюю» реакцию R В (рис.в ).

Однако для эквивалентности этого недостаточно , поскольку в такой балке точка В может перемещаться по вертикали , а в заданной балке (рис.а ) такого произойти не может. Поэтому добавляем условие , что прогиб т. В в основной системе должен быть равен 0 . Прогиб т. В складывается из прогиба от действующей нагрузки Δ F и от прогиба от «лишней» реакции Δ R .

Тогда составляем условие совместности перемещений :

Δ F + Δ R =0 (1)

Теперь остается вычислить эти перемещения (прогибы ).

Загружаем основную систему заданной нагрузкой (рис.г) и построим грузовую эпюру М F (рис. д ).

В т.В приложим и построим эп. (рис.е,ж ).

По формуле Симпсона определим прогиб от действующей нагрузки .

Теперь определим прогиб от действия «лишней» реакции R В , для этого загружаем основную систему R В (рис.з ) и строим эпюру моментов от ее действия М R (рис. и ).

Составляем и решаем уравнение (1) :

Построим эп. Q и М (рис. к,л ).

Строим эпюру Q.

Построим эпюру М методом характерных точек . Расставляем точки на балке — это точки начала и конца балки (D,A ), сосредоточенного момента (B ), а также отметим в качестве характерной точки середину равномерно распределенной нагрузки (K ) — это дополнительная точка для построения параболической кривой.

Определяем изгибающие моменты в точках. Правило знаков см. — .

Момент в т. В будем определять следующим образом. Сначала определим:

Точку К возьмем в середине участка с равномерно распределенной нагрузкой.

Строим эпюру M . Участок АВ – параболическая кривая (правило «зонтика»), участок ВD – прямая наклонная линия .

Для балки определить опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов (М ) и поперечных сил (Q ).

1. Обозначаем опоры буквами А и В и направляем опорные реакции R А и R В .

Составляем уравнения равновесия .

Проверка

Записываем значения R А и R В на расчетную схему .

2. Построение эпюры поперечных сил методом сечений . Сечения расставляем на характерных участках (между изменениями). По размерной нитке – 4 участка, 4 сечения .

сеч. 1-1 ход слева .

Сечение проходит по участку с равномерно распределенной нагрузкой , отмечаем размер z 1 влево от сечения до начала участка . Длина участка 2 м. Правило знаков для Q — см.

Строим по найденным значением эпюру Q .

сеч. 2-2 ход справа .

Сечение вновь проходит по участку равномерно распределенной нагрузкой, отмечаем размер z 2 вправо от сечения до начала участка. Длина участка 6 м.

Строим эпюру Q .

сеч. 3-3 ход справа .

сеч. 4-4 ход справа.

Строим эпюру Q .

3. Построение эпюры М методом характерных точек .

Характерная точка – точка, сколь-либо заметная на балке. Это точки А , В , С , D , а также точка К , в которой Q =0 и изгибающий момент имеет экстремум . Также в середине консоли поставим дополнительную точку Е , поскольку на этом участке под равномерно распределенной нагрузкой эпюра М описывается кривой линией, а она строится, как минимум, по 3 точкам.

Итак, точки расставлены, приступаем к определению в них значений изгибающих моментов . Правило знаков — см. .

Участки NA, AD – параболическая кривая (правило «зонтика» у механических специальностей или «правило паруса» у строительных), участки DС, СВ – прямые наклонные линии.

Момент в точке D следует определять как слева, так и справа от точки D . Сам момент в эти выражения не входит . В точке D получим два значения с разницей на величину m – скачок на его величину.

Теперь следует определить момент в точке К (Q =0). Однако сначала определим положение точки К , обозначив расстояние от нее до начала участка неизвестным х .

Т. К принадлежит второму характерному участку, его уравнение для поперечной силы (см. выше)

Но поперечная сила в т. К равна 0 , а z 2 равняется неизвестному х .

Получаем уравнение:

Теперь, зная х , определим момент в точке К с правой стороны.

Строим эпюру М . Построение выполним для механических специальностей, откладывая положительные значения вверх от нулевой линии и используя правило «зонтика».

Для заданной схемы консольной балки требуется построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента M, выполнить проектировочный расчет, подобрав круглое сечение.

Материал — дерево, расчетное сопротивление материала R=10МПа, М=14кН·м,q=8кН/м

Строить эпюры в консольной балке с жесткой заделкой можно двумя способами — обычным, предварительно определив опорные реакции, и без определения опорных реакций, если рассматривать участки, идя от свободного конца балки и отбрасывая левую часть с заделкой. Построим эпюры обычным способом.

1. Определим опорные реакции .

Равномерно распределенную нагрузку q заменим условной силой Q= q·0,84=6,72 кН

В жесткой заделке три опорные реакции — вертикальная, горизонтальная и момент, в нашем случае горизонтальная реакция равна 0.

Найдем вертикальную реакцию опоры R A и опорный момент М A из уравнений равновесия.

На первых двух участках справа поперечная сила отсутствует. В начале участка с равномерно распределенной нагрузкой (справа) Q=0 , в заделеке — величине реакции R A.
3. Для построения составим выражения для их определения на участках. Эпюру моментов построим на волокнах, т.е. вниз.

(эпюра единичных моментов уже была построена ранее)

Решаем уравнение (1), сокращаем на EI

Статическая неопределимость раскрыта , значение «лишней» реакции найдено. Можно приступать к построению эпюр Q и M для статически неопределимой балки... Зарисовываем заданную схему балки и указываем величину реакции R b . В данной балке реакции в заделке можно не определять, если идти ходом справа.

Построение эпюры Q для статически неопределимой балки

Строим эпюру Q.

Построение эпюры М

Определим М в точке экстремума – в точке К . Сначала определим её положение. Обозначим расстояние до неё как неизвестное «х ». Тогда

Строим эпюру М.

Определение касательных напряжений в двутавровом сечении . Рассмотрим сечение двутавра. S x =96,9 см 3 ; Yх=2030 см 4 ; Q=200 кН

Для определения касательного напряжения применяется формула ,где Q — поперечная сила в сечении, S x 0 – статический момент части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от слоя, в котором определяются касательные напряжения, I x – момент инерции всего поперечного сечения, b – ширина сечения в том месте, где определяется касательное напряжение

Вычислим максимальное касательное напряжение:

Вычислим статический момент для верхней полки:

Теперь вычислим касательные напряжения:

Строим эпюру касательных напряжений:

Проектный и проверочный расчеты. Для балки с построенными эпюрами внутренних усилий подобрать сечение в виде двух швеллеров из условия прочности по нормальным напряжениям. Проверить прочность балки, используя условие прочности по касательным напряжениям и энергетический критерий прочности. Дано:

Покажем балку с построенными эпюрами Q и М

Согласно эпюре изгибающих моментов опасным является сечение С, в котором М С =М max =48,3кНм.

Условие прочности по нормальным напряжениям для данной балки имеет вид σ max =M C /W X ≤σ adm . Требуется подобрать сечение из двух швеллеров.

Определим необходимое расчетное значение осевого момента сопротивления сечения:

Для сечения в виде двух швеллеров согласно принимаем два швеллера №20а , момент инерции каждого швеллера I x =1670см 4 , тогда осевой момент сопротивления всего сечения:

Перенапряжение (недонапряжение) в опасных точках посчитаем по формуле: Тогда получим недонапряжение :

Теперь проверим прочность балки, исходя из условия прочности по касательным напряжениям. Согласно эпюре поперечных сил опасными являются сечения на участке ВС и сечение D. Как видно из эпюры, Q max =48,9 кН.

Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид:

Для швеллера №20 а: статический момент площади S x 1 =95,9 см 3 , момент инерции сечения I x 1 =1670 см 4 , толщина стенки d 1 =5,2 мм, средняя толщина полки t 1 =9,7 мм, высота швеллера h 1 =20 см, ширина полки b 1 =8 см.

Для поперечного сечения из двух швеллеров:

S x = 2S x 1 =2·95,9=191,8 см 3 ,

I x =2I x 1 =2·1670=3340 см 4 ,

b=2d 1 =2·0,52=1,04 см.

Определяем значение максимального касательного напряжения:

τ max =48,9·10 3 ·191,8·10 −6 /3340·10 −8 ·1,04·10 −2 =27МПа.

Как видно, τ max <τ adm (27МПа<75МПа).

Следовательно, условие прочности выполняется.

Проверяем прочность балки по энергетическому критерию .

Из рассмотрения эпюр Q и М следует, что опасным является сечение С, в котором действуют M C =M max =48,3 кНм и Q C =Q max =48,9 кН.

Проведем анализ напряженного состояния в точках сечения С

Определим нормальные и касательные напряжения на нескольких уровнях (отмечены на схеме сечения)

Уровень 1-1: y 1-1 =h 1 /2=20/2=10см.

Нормальные и касательные напряжения:

Главные напряжения:

Уровень 2−2: y 2-2 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03см.

Главные напряжения:

Уровень 3−3: y 3-3 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03см.

Нормальные и касательные напряжения:

Главные напряжения:

Экстремальные касательные напряжения:

Уровень 4−4: y 4-4 =0.

(в середине нормальные напряжения равны нулю, касательные максимальны, их находили в проверке прочности по касательным напряжениям)

Главные напряжения:

Экстремальные касательные напряжения:

Уровень 5−5:

Нормальные и касательные напряжения:

Главные напряжения:

Экстремальные касательные напряжения:

Уровень 6−6:

Нормальные и касательные напряжения:

Главные напряжения:

Экстремальные касательные напряжения:

Уровень 7−7:

Нормальные и касательные напряжения:

Главные напряжения:

Экстремальные касательные напряжения:

В соответствии с выполненными расчетами эпюры напряжений σ, τ, σ 1 , σ 3 , τ max и τ min представлены на рис.

Анализ этих эпюр показывает , что в сечении балки опасными являются точки на уровне 3-3 (или 5-5 ), в которых:

Используя энергетический критерий прочности, получим

Из сравнения эквивалентного и допускаемого напряжений следует, что условие прочности также выполняется

(135,3 МПа<150 МПа).

Неразрезная балка нагружена во всех пролетах. Построить эпюры Q и M для неразрезной балки.

1. Определяем степень статической неопределимости балки по формуле:

n= Соп -3= 5-3 =2, где Соп – число неизвестных реакций, 3 – число уравнений статики . Для решения данной балки требуется два дополнительных уравнения.

2. Обозначим номера опор с нулевой по порядку (0,1,2,3 )

3. Обозначим номера пролетов с первого по порядку (ι 1, ι 2, ι 3 )

4. Каждый пролет рассматриваем как простую балку и строим для каждой простой балки эпюры Q и M. То, что относится к простой балке , будем обозначать с индексом «0 », то, что относится к неразрезной балке, будем обозначать без этого индекса. Таким образом, — это поперечная сила и изгибающий момент для простой балки.

Изгибом называется деформация стержня, сопровождающаяся изменением кривизны его оси. Стержень, работающий на изгиб, называется балкой .

В зависимости от способов приложения нагрузки и способов закрепления стержня могут возникать различные виды изгиба.

Если под действием нагрузки в поперечном сечении стержня возникает только изгибающий момент, то изгиб называют чистым .

Если в поперечных сечениях наряду с изгибающими моментами возникают и поперечные силы, то изгиб называют поперечным .

Рис. 1

Чтобы балка могла воспринимать нагрузку в плоскости, она должна быть закреплена с помощью опор: шарнирно-подвижной, шарнирно-неподвижной, заделкой.

Балка должна быть геометрически неизменяемой, при этом наименьшее количество связей равно 3. Пример геометрически изменяемой системы приведен на рис.2а. Пример геометрически неизменяемых систем – рис. 2б, в.

а) б) в)

В опорах возникают реакции, которые определяются из условий равновесия статики. Реакции в опорах являются внешними нагрузками.

Внутренние усилия при изгибе

Стержень, нагруженный силами перпендикулярными продольной оси балки, испытывает плоский изгиб (рис. 3). В поперечных сечениях возникают два внутренних усилия: поперечная сила Q y и изгибающий момент М z .

Внутренние усилия M z и Q y в сечение определяются из условий равновесия.

Составляется уравнение равновесия для части С :

∑y = R A – P ­1 – Q y = 0.

ТогдаQ y = R A – P ­1 .

Вывод. Поперечная сила в любом сечении балки равна алгебраической сумме всех внешних сил, лежащих по одну сторону от проведённого сечения. Поперечная сила считается положительной, если вращает стержень относительно точки сечения по часовой стрелке.

∑M 0 = R A ∙ x – P 1 ∙ (x - a ) – M z = 0

Тогда M z = R A ∙ x – P 1 ∙ (x – a )

1. Определение реакций R A , R B ;

∑M A = P ∙ a – R B ∙ l = 0

R B =

∑M B = R A ∙ e – P ∙ a = 0

2. Построение эпюр на первом участке 0 ≤ x 1 ≤ a

Q y = R A = ; M z = R A ∙ x 1

x 1 = 0 M z (0) = 0

x 1 = a M z (a) =

3. Построение эпюр на втором участке 0 ≤ x 2 ≤ b

Q y = - R B = - ; M z = R B ∙ x 2 ; x 2 = 0 M z (0) = 0 x 2 = b M z (b ) =

При построении M z положительные координаты будут откладываться в сторону растянутых волокон.

Проверка эпюр

1. На эпюре Q y разрывы могут быть только в местах приложения внешних сил и величина скачка должна соответствовать их величине.

+ = = P

2. На эпюре M z разрывы возникают в местах приложения сосредоточенных моментов и величина скачка равна их величине.

Дифференциальные зависимости между M , Q и q

Между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределённой нагрузки установлены зависимости:

q = , Q y =

где q – интенсивность распределённой нагрузки,

Проверка прочности балок при изгибе

Для оценки прочности стержня при изгибе и подбора сечения балки используются условия прочности по нормальным напряжениям.

Изгибающий момент представляет собой равнодействующий момент нормальных внутренних сил, распределённых по сечению.

s = ×y ,

где s – нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения,

y – расстояние от центра тяжести сечения до точки,

M z – изгибающий момент, действующий в сечении,

J z – осевой момент инерции стержня.

Для обеспечения прочности рассчитываются максимальные напряжения, которые возникают в точках сечения, наиболее удалённых от центра тяжести y = y max

s max = ×y max ,

= W z и s max = .

Тогда условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид:

s max = ≤ [s],

где [s] – допускаемое напряжение при растяжениях.

Изгибом называется вид нагружения бруса, при котором к нему прикладывается момент, лежащий в плоскости проходящей через продольную ось. В поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. При изгибе возникают деформация, при которой происходит искривление оси прямого бруса или изменение кривизны кривого бруса.

Брус, работающий при изгибе, называется балкой . Конструкция, состоящая из нескольких изгибаемых стержней, соединенных между собой чаще всего под углом 90°, называется рамой .

Изгиб называется плоским или прямым , если плоскость действия нагрузки проходит через главную центральную ось инерции сечения (рис.6.1).

Рис.6.1

При плоском поперечном изгибе в балке возникают два вида внутренних усилий: поперечная сила Q и изгибающий момент M . В раме при плоском поперечном изгибе возникают три усилия: продольная N , поперечная Q силы и изгибающий момент M .

Если изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, то такой изгиб называетсячистым (рис.6.2). При наличии поперечной силы изгиб называется поперечным . Строго говоря, к простым видам сопротивления относится лишь чистый изгиб; попереч­ный изгиб относят к простым видам сопротивления условно, так как в большинстве слу­чаев (для достаточно длинных балок) действием поперечной силы при расчетах на проч­ность можно пренебречь.

22.Плоский поперечный изгиб. Дифференциальные зависимости между внутренними усилиями и внешней нагрузкой. Между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки существуют дифференциальные зависимости, основанные на теореме Журавского, названной по имени русского инженера-мостостроителя Д. И. Журавского (1821-1891 г.г.).

Эта теорема формулируется так:

Поперечная сила равна первой производной от изгибающего момента по абсциссе сечения балки.

23. Плоский поперечный изгиб. Посторение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Определение поперечных сил и изгибающих моментов - сечение 1

Отбросим правую часть балки и заменим ее действие на левую часть поперечной силой и изгибающим моментом. Для удобства вычисления закроем отбрасываемую правую часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка с рассматриваемым сечением 1.

Поперечная сила в сечении 1 балки равна алгебраической сумме всех внешних сил, которые видим после закрытия

Видим только реакцию опоры, направленную вниз. Таким образом, поперечная сила равна:

кН.

Знак «минус» нами взят потому, что сила вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения против хода часовой стрелки (или потому, что одинаково направлена с направлением поперечной силы по правилу знаков)

Изгибающий момент в сечении 1 балки, равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые мы видим после закрытия отброшенной части балки, относительно рассматриваемого сечения 1.

Видим два усилия: реакцию опоры и момент M. Однако у силыплечо практически равно нулю. Поэтомуизгибающий момент равен:

кН·м.

Здесь знак «плюс» нами взят потому, что внешний момент M изгибает видимую нами часть балки выпуклостью вниз. (или потому, что противоположно направлен направлению изгибающего момента по правилу знаков)

Определение поперечных сил и изгибающих моментов - сечение 2

В отличие от первого сечения, у силы реакциипоявилось плечо, равное а.

поперечная сила:

кН;

изгибающий момент:

Определение поперечных сил и изгибающих моментов - сечение 3

поперечная сила:

изгибающий момент:

Определение поперечных сил и изгибающих моментов - сечение 4

Теперь удобнее закрывать листком левую часть балки .

поперечная сила:

изгибающий момент:

Определение поперечных сил и изгибающих моментов - сечение 5

поперечная сила:

изгибающий момент:

Определение поперечных сил и изгибающих моментов - сечение 1

поперечная сила и изгибающий момент:

.

По найденным значениям производим построение эпюры поперечных сил (рис. 7.7, б) и изгибающих моментов(рис. 7.7, в).

КОНТРОЛЬ ПРАВИЛЬНОСТИ ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР

Убедимся в правильности построения эпюр по внешним признакам, пользуясь правилами построения эпюр.

Проверка эпюры поперечных сил

Убеждаемся: под незагруженными участками эпюра поперечных сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по наклоненной вниз прямой. На эпюре продольной силы три скачка: под реакцией– вниз на 15 кН, под силой P – вниз на 20 кН и под реакцией– вверх на 75 кН.

Проверка эпюры изгибающих моментов

На эпюре изгибающих моментов видим изломы под сосредоточенной силой P и под опорными реакциями. Углы изломов направлены навстречу этим силам. Под распределенной нагрузкой q эпюра изгибающих моментов изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. В сечении 6 на эпюре изгибающего момента – экстремум, поскольку эпюра поперечной силы в этом месте проходит через нулевое значение.

Изгиб

Основные понятия об изгибе

Деформация изгиба характеризуется потерей прямолинейности или первоначальной формы линией балки (ее осью) при приложении внешней нагрузки. При этом, в отличие от деформации сдвига, линия балки изменяет свою форму плавно.
Легко убедиться, что на сопротивляемость изгибу влияет не только площадь поперечного сечения балки (бруса, стержня и т. д.), но и геометрическая форма этого сечения.

Поскольку изгиб тела (балки, бруса и т. п.) осуществляется относительно какой-либо оси, на сопротивляемость изгибу влияет величина осевого момента инерции сечения тела относительно этой оси.
Для сравнения - при деформации кручения сечение тела подвергается закручиванию относительно полюса (точки), поэтому на сопротивление кручению оказывает влияние полярный момент инерции этого сечения.

На изгиб могут работать многие элементы конструкций – оси, валы, балки, зубья зубчатых колес, рычаги, тяги и т. д.

В сопротивлении материалов рассматривают несколько типов изгибов:
- в зависимости от характера внешней нагрузки, приложенной к брусу, различают чистый изгиб и поперечный изгиб ;
- в зависимости от расположения плоскости действия изгибающей нагрузки относительно оси бруса - прямой изгиб и косой изгиб .

Чистый и поперечный изгиб балки

Чистым изгибом называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент (рис. 2 ).
Деформация чистого изгиба будет, например, иметь место, если к прямому брусу в плоскости, проходящей через ось, приложить две равные по величине и противоположные по знаку пары сил. Тогда в каждом сечении бруса будут действовать только изгибающие моменты.

Если же изгиб имеет место в результате приложения к брусу поперечной силы (рис. 3 ), то такой изгиб называется поперечным . В этом случае в каждом сечении бруса действует и поперечная сила, и изгибающий момент (кроме сечения, к которому приложена внешняя нагрузка).

Если брус имеет хоть одну ось симметрии, и плоскость действия нагрузок совпадает с ней, то имеет место прямой изгиб , если же это условие не выполняется, то имеет место косой изгиб .

При изучении деформации изгиба будем мысленно представлять себе, что балка (брус) состоит из бесчисленного количества продольных, параллельных оси волокон.
Чтобы наглядно представить деформацию прямого изгиба, проведем опыт с резиновым брусом, на котором нанесена сетка продольных и поперечных линий.
Подвергнув такой брус прямому изгибу, можно заметить, что (рис. 1 ):

Поперечные линии останутся при деформации прямыми, но повернутся под углом друг другу;
- сечения бруса расширятся в поперечном направлении на вогнутой стороне и сузятся на выпуклой стороне;
- продольные прямые линии искривятся.

Из этого опыта можно сделать вывод, что:

При чистом изгибе справедлива гипотеза плоских сечений;
- волокна, лежащие на выпуклой стороне растягиваются, на вогнутой стороне – сжимаются, а на границе между ними лежит нейтральный слой волокон, которые только искривляются, не изменяя своей длины.

Полагая справедливой гипотезу о не надавливании волокон, можно утверждать, что при чистом изгибе в поперечном сечении бруса возникают только нормальные напряжения растяжения и сжатия, неравномерно распределенные по сечению.
Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной осью . Очевидно, что на нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю.

Изгибающий момент и поперечная сила

Как известно из теоретической механики, опорные реакции балок определяют, составляя и решая уравнения равновесия статики для всей балки. При решении задач сопротивления материалов, и определении внутренних силовых факторов в брусьях, мы учитывали реакции связей наравне с внешними нагрузками, действующими на брусья.
Для определения внутренних силовых факторов применим метод сечений, причем изображать балку будем только одной линией – осью, к которой приложены активные и реактивные силы (нагрузки и реакции связей).

Рассмотрим два случая:

1. К балке приложены две равные и противоположные по знаку пары сил.
Рассматривая равновесие части балки, расположенной слева или справа от сечения 1-1 (рис. 2 ), видим, что во всех поперечных сечениях возникает только изгибающий момент М и , равный внешнему моменту. Таким образом, это случай чистого изгиба.

Изгибающий момент есть результирующий момент относительно нейтральной оси внутренних нормальных сил, действующих в поперечном сечении балки.

Обратим внимание на то, что изгибающий момент имеет разное направление для левой и правой частей балки. Это говорит о непригодности правила знаков статики при определении знака изгибающего момента.

2. К балке приложены активные и реактивные силы (нагрузки и реакции связей), перпендикулярные оси (рис. 3 ). Рассматривая равновесие частей балки, расположенных слева и справа, видим, что в поперечных сечениях должны действовать изгибающий момент М и и поперечная сила Q .
Из этого следует, что в рассматриваемом случае в точках поперечных сечений действуют не только нормальные напряжения, соответствующие изгибающему моменту, но и касательные, соответствующие поперечной силе.

Поперечная сила есть равнодействующая внутренних касательных сил в поперечном сечении балки.

Обратим внимание на то, что поперечная сила имеет противоположное направление для левой и правой частей балки, что говорит о непригодности правила знаков статики при определении знака поперечной силы.

Изгиб, при котором в поперечном сечении балки действуют изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным .

У балки, находящейся в равновесии вод действием плоской системы сил, алгебраическая сумма моментов всех активных и реактивных сил относительно любой точки равна нулю; следовательно, сумма моментов внешних сил, действующих на балку левее сечения, численно равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на балку правее сечения.
Таким образом, изгибающий момент в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести сечения всех внешних сил, действующих на балку справа или слева от сечения .

У балки, находящейся в равновесии под действием плоской системы сил, перпендикулярных оси (т. е. системы параллельных сил), алгебраическая сумма всех внешних сил равна нулю; следовательно сумма внешних сил, действующих на балку левее сечения, численно равна алгебраической сумме сил, действующих на балку правее сечения.
Таким образом, поперечная сила в сечении балки численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих справа или слева от сечения .

Так как правила знаков статики неприемлемы для установления знаков изгибающего момента и поперечной силы, установим для них другие правила знаков, а именно: Если внешняя нагрузка стремится изогнуть балку выпуклостью вниз, то изгибающий момент в сечении считается положительным, и наоборот, если внешняя нагрузка стремится изогнуть балку выпуклостью вверх, то изгибающий момент в сечении считается отрицательным (рис 4,a ).

Если сумма внешних сил, лежащих по левую сторону от сечения, дает равнодействующую, направленную вверх, то поперечная сила в сечении считается положительной, если равнодействующая направлена вниз, то поперечная сила в сечении считается отрицательной; для части балки, расположенной справа от сечения, знаки поперечной силы будут противоположными (рис. 4,b ). Пользуясь этими правилами, следует мысленно представлять себе сечение балки жестко защемлённым, а связи отброшенными и замененными реакциями.

Еще раз отметим, что для определения реакций связей пользуются правилами знаков статики, а для определения знаков изгибающего момента и поперечной силы – правилами знаков сопротивления материалов.
Правило знаков для изгибающих моментов иногда называют "правилом дождя" , имея в виду, что в случае выпуклости вниз образуется воронка, в которой задерживается дождевая вода (знак положительный), и наоборот – если под действием нагрузок балка выгибается дугой вверх, вода на ней не задерживается (знак изгибающих моментов отрицательный).

Материалы раздела "Изгиб":

Силы, действующие перпендикулярно к оси бруса и располо­женные в плос-кости, проходящей через эту ось, вызывают дефор­мацию, называемую попереч-ным изгибом . Если плоскость действия упомянутых сил – главная плоскость, то имеет место прямой (плоский) поперечный изгиб. В противном случае изгиб называет­ся косым поперечным. Брус, подверженный преимущественно из­гибу, называется балкой 1 .

По существу поперечный изгиб есть сочетание чистого изги­ба и сдвига. В связи с искривлением поперечных сечений из-за неравномерности распределе-ния сдвигов по высоте возникает вопрос о возможности применения формулы нормального напряжения σ х , выведенной для чистого изгиба на основании гипотезы плоских сечений.

1 Однопролетная балка, имеющая по концам соответственно одну цилиндрическую неподвижную опору и одну цилиндрическую подвижную в направлении оси балки, называется простой . Балка с одним защемленным и другим свободным концом называется консолью . Простая балка, имеющая одну или две части, свешивающиеся за опору, называется консольной .

Если, кроме того, сечения взяты далеко от мест приложения нагрузки (на расстоянии, не меньшем половины высоты сечения бруса), то можно, как и в случае чистого изгиба, считать, что волокна не оказывают давления друг на друга. Значит, каждое волокно испытывает одноосное растяжение или сжатие.

При действии распределенной нагрузки поперечные силы в двух смежных сечениях будут отличаться на величину, рав­ную qdx . Поэтому искривления сечений будут также несколько отличаться. Кроме того, волокна будут оказывать давление друг на друга. Тщательное исследование вопроса показывает, что если длина бруса l достаточно велика по сравнению с его высотой h (l / h > 5), то и при распределенной нагрузке указанные факторы не оказывают существенного влияния на нормальные напряжения в поперечном сечении и потому в практических расчетах могут не учитываться.

а б в

Рис. 10.5 Рис. 10.6

В сечениях под сосредоточенными грузами и вблизи них распределение σ х отклоняется от линейного закона. Это отклонение, носящее местный характер и не сопровождающееся увеличением наибольших напряжений (в крайних волокнах), на практике обычно не принимают во внимание.

Таким образом, при поперечном изгибе (в плоскости ху ) нор­мальные напряжения вычисляются по формуле

σ х = – [М z (x )/I z ]y .

Если проведем два смежных сечения на участке бруса, свободном от нагрузки, то поперечная сила в обоих сечениях будет одинакова, а значит, одинаково и искривление сечений. При этом какой-либо отрезок волокна ab (рис.10.5) переместится в новое положение a"b" , не претерпев дополнительного удлинения, и следовательно, не меняя величину нормального напряжения.

Определим касательные напряжения в поперечном сечении через парные им напряжения, действующие в продольном сечении бруса.

Выделим из бруса элемент длиной dx (рис. 10.7 а). Проведём горизонта-льное сечение на расстоянии у от нейтральной оси z , разделившее элемент на две части (рис. 10.7) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основа-

ние шириной b . В соответствии с законом парности касательных напряжений, напряжения действующие в продольном сечении равны напряжениям, действующим в поперечном сечении. С учётом этого в предположении о том, что касательные напряжения в площадке b распределены равномерно ис-пользуем условие ΣХ = 0, получим:

N * - (N * +dN *)+

где: N * - равнодействующая нормальных сил σв левом поперечном сече-нии элемента dx в пределах “отсечённой” площадки А * (рис. 10.7 г):

где: S=- статический момент “отсечённой” части поперечного сече-ния (заштрихованная площадь на рис. 10.7 в). Следовательно, можно записать:

Тогда можно записать:

Эта формула была получена в XIX веке русским ученым и инженером Д.И. Журавским и носит его имя. И хотя эта формула приближенная, так как усредняет напряжение по ширине сечения, но полученные результаты расчета по ней, неплохо согласуются с экспериментальными данными.

Для того, чтобы определить касательные напряжения в произвольной точке сечения отстоящей на расстоянии y от оси z следует:

Определить из эпюры величину поперечной силы Q, действующей в сечении;

Вычислить момент инерции I z всего сечения;

Провести через эту точку плоскость параллельную плоскости xz и определить ширину сечения b ;

Вычислить статический момент отсеченной площади Sотносительно главной центральной оси z и подставить найденные величины в формулу Жура-вского.

Определим в качестве примера касательные напряжения в прямоуголь-ном поперечном сечении (рис. 10.6, в). Статический момент относительно оси z части сечения выше линии 1-1, на которой определяется напряжения запишем в виде:

Он изменяется по закону квадратной параболы. Ширина сечения в для прямоугольного бруса постоянна, то параболическим будет и закон изменения касательных напряжений в сечении (рис.10.6, в). При y =и у = − каса-тельные напряжения равны нулю, а на нейтральной оси z они достигают наибольшего значения.

Для балки круглого поперечного сечения на нейтральной оси имеем.