વિષય પર પાઠ અને પ્રસ્તુતિ: "નકારાત્મક ઘાતાંક સાથે ઘાતાંક. વ્યાખ્યા અને સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો"

વધારાની સામગ્રી
પ્રિય વપરાશકર્તાઓ, તમારી ટિપ્પણીઓ, સમીક્ષાઓ, શુભેચ્છાઓ આપવાનું ભૂલશો નહીં. એન્ટી-વાયરસ પ્રોગ્રામ દ્વારા તમામ સામગ્રીની તપાસ કરવામાં આવી છે.

8મા ધોરણ માટે ઈન્ટિગ્રલ ઓનલાઈન સ્ટોરમાં શૈક્ષણિક સહાય અને સિમ્યુલેટર
પાઠ્યપુસ્તક માટે મેન્યુઅલ મુરાવિન જી.કે.   

અલીમોવ દ્વારા પાઠ્યપુસ્તક માટે માર્ગદર્શિકા.

ઉદાહરણ તરીકે: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.
આપણે સારી રીતે જાણીએ છીએ કે શૂન્ય ઘાતની કોઈપણ સંખ્યા એક સમાન છે. $a^0=1$, $a≠0$.
પ્રશ્ન એ ઊભો થાય છે કે, જો તમે સંખ્યાને નકારાત્મક શક્તિમાં વધારશો તો શું થશે? ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા $2^(-2)$ શું હશે? આ પ્રશ્ન પૂછનાર પ્રથમ ગણિતશાસ્ત્રીઓએ નક્કી કર્યું કે વ્હીલને ફરીથી શોધવું તે યોગ્ય નથી, અને તે સારું છે કે ડિગ્રીના તમામ ગુણધર્મો સમાન રહે છે. એટલે કે, જ્યારે સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરવોસમાન આધાર
, ઘાતાંક ઉમેરે છે.
ચાલો આ કેસને ધ્યાનમાં લઈએ: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.

અમને જાણવા મળ્યું કે આવી સંખ્યાઓનો ગુણાંક એક આપવો જોઈએ. ઉત્પાદનમાં એકમ પારસ્પરિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે, એટલે કે, $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.
આવા તર્ક નીચેની વ્યાખ્યા તરફ દોરી ગયા. વ્યાખ્યા.

જો $n$ કુદરતી સંખ્યા છે અને $a≠0$, તો સમાનતા ધરાવે છે: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.
એક મહત્વની ઓળખ જેનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે તે છે: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.

ખાસ કરીને, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

ગણતરી કરો: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.
ઉકેલ.
ચાલો દરેક શબ્દને અલગથી ધ્યાનમાં લઈએ.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
તે સરવાળો અને બાદબાકીની કામગીરી કરવા માટે બાકી છે: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.

જવાબ: $6\frac(1)(4)$.
ઉદાહરણ 2. આપેલ સંખ્યાને પાવર તરીકે રજૂ કરોઅવિભાજ્ય સંખ્યા

ગણતરી કરો: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.
$\frac(1)(729)$.
દેખીતી રીતે, $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
પરંતુ 729 એ 9 માં સમાપ્ત થતી અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી. એવું માની શકાય છે કે આ સંખ્યા ત્રણની ઘાત છે. ક્રમશઃ 729 ને 3 વડે વિભાજિત કરો.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
છ ઓપરેશનો કરવામાં આવ્યા હતા અને તેનો અર્થ છે: $729=3^6$.
અમારા કાર્ય માટે:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
જવાબ: $3^(-6)$.

ઉદાહરણ 3. અભિવ્યક્તિને પાવર તરીકે વ્યક્ત કરો: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)(a^(-3)*a^8)^(-1))$.
ઉકેલ. પ્રથમ ક્રિયા હંમેશા કૌંસની અંદર કરવામાં આવે છે, પછી ગુણાકાર $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
જવાબ: $a$.

ઉદાહરણ 4. ઓળખ સાબિત કરો:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

ઉકેલ.
ડાબી બાજુએ, અમે કૌંસમાં દરેક પરિબળને અલગથી ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))(x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2) )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))(x^2+2xy+y^2)*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2)(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. ચાલો આપણે જે અપૂર્ણાંક દ્વારા ભાગી રહ્યા છીએ તેના તરફ આગળ વધીએ.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. ચાલો વિભાજન કરીએ.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
અમે સાચી ઓળખ મેળવી છે, જે સાબિત કરવાની અમને જરૂર હતી.

પાઠના અંતે, અમે ફરી એકવાર સત્તાઓ સાથે કામ કરવાના નિયમો લખીશું, અહીં ઘાતાંક પૂર્ણાંક છે.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

સ્વતંત્ર રીતે ઉકેલવા માટે સમસ્યાઓ

પ્રવેશ સ્તર

ડિગ્રી અને તેના ગુણધર્મો. વ્યાપક માર્ગદર્શિકા (2019)

શા માટે ડિગ્રીની જરૂર છે? તમને તેમની ક્યાં જરૂર પડશે? તમારે તેમનો અભ્યાસ કરવા શા માટે સમય કાઢવો જોઈએ?

ડિગ્રીઓ વિશે બધું જાણવા માટે, તેઓ શું માટે છે, તમારા જ્ઞાનનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો રોજિંદા જીવનઆ લેખ વાંચો.

અને, અલબત્ત, ડિગ્રીઓનું જ્ઞાન તમને સફળતાપૂર્વક યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા અથવા યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પાસ કરવા અને તમારા સપનાની યુનિવર્સિટીમાં પ્રવેશવાની નજીક લાવશે.

ચાલો જઈએ... (ચાલો જઈએ!)

મહત્વપૂર્ણ નોંધ! જો તમને સૂત્રોને બદલે ગોબ્લેડીગુક દેખાય, તો તમારી કેશ સાફ કરો. આ કરવા માટે, CTRL+F5 (Windows પર) અથવા Cmd+R (Mac પર) દબાવો.

એન્ટ્રી લેવલ

ઘાત એ સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર અથવા ભાગાકારની જેમ જ ગાણિતિક ક્રિયા છે.

હવે હું માનવ ભાષામાં ખૂબ જ સમજાવીશ સરળ ઉદાહરણો. સાવચેત રહો. ઉદાહરણો પ્રાથમિક છે, પરંતુ મહત્વની બાબતો સમજાવો.

ચાલો ઉમેરા સાથે પ્રારંભ કરીએ.

અહીં સમજાવવા માટે કંઈ નથી. તમે પહેલાથી જ બધું જાણો છો: અમારામાંથી આઠ છે. દરેક વ્યક્તિ પાસે કોલાની બે બોટલ હોય છે. ત્યાં કેટલા કોલા છે? તે સાચું છે - 16 બોટલ.

હવે ગુણાકાર.

કોલા સાથેનું સમાન ઉદાહરણ અલગ રીતે લખી શકાય છે: . ગણિતશાસ્ત્રીઓ ઘડાયેલું અને આળસુ લોકો છે. તેઓ પ્રથમ કેટલીક પેટર્નની નોંધ લે છે અને પછી તેમને ઝડપથી "ગણતરી" કરવાની રીત શોધે છે. અમારા કિસ્સામાં, તેઓએ નોંધ્યું કે આઠ લોકોમાંથી દરેક સમાન રકમકોલાની બોટલો અને ગુણાકાર નામની ટેકનિક સાથે આવ્યા. સંમત થાઓ, તે કરતાં વધુ સરળ અને ઝડપી ગણવામાં આવે છે.

તેથી, ઝડપી, સરળ અને ભૂલો વિના ગણતરી કરવા માટે, તમારે ફક્ત યાદ રાખવાની જરૂર છે ગુણાકાર કોષ્ટક. અલબત્ત, તમે બધું ધીમી, વધુ મુશ્કેલ અને ભૂલો સાથે કરી શકો છો! પણ…

અહીં ગુણાકાર કોષ્ટક છે. પુનરાવર્તન કરો.

અને બીજું, વધુ સુંદર:

અન્ય શું? ઘડાયેલ યુક્તિઓશું ખાતાઓની શોધ આળસુ ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા કરવામાં આવી હતી? જમણે - સંખ્યાને શક્તિમાં વધારવી.

સંખ્યાને ઘાતમાં વધારવી

જો તમારે કોઈ સંખ્યાને પોતાના દ્વારા પાંચ વખત ગુણાકાર કરવાની જરૂર હોય, તો ગણિતશાસ્ત્રીઓ કહે છે કે તમારે તે સંખ્યાને પાંચમી ઘાત સુધી વધારવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, . ગણિતશાસ્ત્રીઓ યાદ રાખે છે કે બેથી પાંચમી શક્તિ... અને તેઓ આવી સમસ્યાઓ તેમના માથામાં હલ કરે છે - ઝડપી, સરળ અને ભૂલો વિના.

તમારે ફક્ત એટલું જ કરવાની જરૂર છે સંખ્યાઓની શક્તિઓના કોષ્ટકમાં રંગમાં શું પ્રકાશિત થયેલ છે તે યાદ રાખો. મારો વિશ્વાસ કરો, આ તમારા જીવનને ઘણું સરળ બનાવશે.

માર્ગ દ્વારા, તેને બીજી ડિગ્રી કેમ કહેવામાં આવે છે? ચોરસસંખ્યાઓ, અને ત્રીજું - સમઘન? તેનો અર્થ શું છે? ખૂબ જ સારો પ્રશ્ન. હવે તમારી પાસે ચોરસ અને સમઘન બંને હશે.

વાસ્તવિક જીવન ઉદાહરણ #1

ચાલો ચોરસ અથવા સંખ્યાની બીજી ઘાતથી શરૂઆત કરીએ.

એક મીટર બાય એક મીટરના ચોરસ પૂલની કલ્પના કરો. પૂલ તમારા dacha પર છે. તે ગરમ છે અને હું ખરેખર તરવા માંગુ છું. પણ... પૂલનું કોઈ તળિયું નથી! તમારે પૂલના તળિયે ટાઇલ્સ સાથે આવરી લેવાની જરૂર છે. તમને કેટલી ટાઇલ્સની જરૂર છે? આ નક્કી કરવા માટે, તમારે પૂલના તળિયે વિસ્તારને જાણવાની જરૂર છે.

તમે તમારી આંગળી બતાવીને ગણતરી કરી શકો છો કે પૂલના તળિયે મીટર બાય મીટર ક્યુબ્સનો સમાવેશ થાય છે. જો તમારી પાસે એક મીટર બાય એક મીટરની ટાઇલ્સ હોય, તો તમારે ટુકડાઓની જરૂર પડશે. તે સરળ છે... પણ તમે આવી ટાઇલ્સ ક્યાં જોઈ છે? ટાઇલ મોટે ભાગે સેમી બાય સેમી હશે અને પછી તમને "તમારી આંગળીથી ગણીને" ત્રાસ આપવામાં આવશે. પછી તમારે ગુણાકાર કરવો પડશે. તેથી, પૂલના તળિયે એક બાજુ અમે ટાઇલ્સ (ટુકડાઓ) અને બીજી બાજુ, પણ, ટાઇલ્સ ફિટ કરીશું. દ્વારા ગુણાકાર કરો અને તમને ટાઇલ્સ () મળે છે.

શું તમે નોંધ્યું છે કે પૂલના તળિયાના વિસ્તારને નિર્ધારિત કરવા માટે આપણે સમાન સંખ્યાને જાતે જ ગુણાકાર કર્યો છે? તેનો અર્થ શું છે? આપણે એક જ સંખ્યાનો ગુણાકાર કરતા હોવાથી, આપણે "ઘાત" તકનીકનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. (અલબત્ત, જ્યારે તમારી પાસે માત્ર બે સંખ્યાઓ હોય, તો પણ તમારે તેમને ગુણાકાર કરવાની અથવા તેમને ઘાત સુધી વધારવાની જરૂર છે. પરંતુ જો તમારી પાસે તેમાંથી ઘણી બધી સંખ્યાઓ હોય, તો પછી તેમને ઘાતમાં વધારવી ખૂબ સરળ છે અને ગણતરીમાં પણ ઓછી ભૂલો છે. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા માટે, આ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે).
તેથી, ત્રીસથી બીજી ઘાત () હશે. અથવા આપણે કહી શકીએ કે ત્રીસ ચોરસ હશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સંખ્યાની બીજી શક્તિ હંમેશા ચોરસ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. અને તેનાથી વિપરિત, જો તમે ચોરસ જુઓ છો, તો તે હંમેશા અમુક સંખ્યાની બીજી શક્તિ છે. ચોરસ એ સંખ્યાની બીજી શક્તિની છબી છે.

વાસ્તવિક જીવન ઉદાહરણ #2

અહીં તમારા માટે એક કાર્ય છે: સંખ્યાના વર્ગનો ઉપયોગ કરીને ચેસબોર્ડ પર કેટલા ચોરસ છે તેની ગણતરી કરો... કોષોની એક બાજુ અને બીજી બાજુ પણ. તેમની સંખ્યાની ગણતરી કરવા માટે, તમારે આઠને આઠ વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે અથવા... જો તમે જોયું કે ચેસબોર્ડ એ બાજુ સાથેનો ચોરસ છે, તો તમે આઠનો વર્ગ કરી શકો છો. તમને કોષો મળશે. () તો?

વાસ્તવિક જીવન ઉદાહરણ #3

હવે ઘન અથવા સંખ્યાની ત્રીજી ઘાત. એ જ પૂલ. પરંતુ હવે તમારે એ જાણવાની જરૂર છે કે આ પૂલમાં કેટલું પાણી રેડવું પડશે. તમારે વોલ્યુમની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. (વોલ્યુમ્સ અને પ્રવાહી, માર્ગ દ્વારા, માપવામાં આવે છે ઘન મીટર. અનપેક્ષિત, બરાબર?) એક પૂલ દોરો: એક મીટર અને મીટરની ઊંડાઈને માપતો તળિયું અને ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો કે એક મીટર દ્વારા એક મીટરને માપતા કેટલા ક્યુબ્સ તમારા પૂલમાં ફિટ થશે.

ફક્ત તમારી આંગળી ચીંધો અને ગણતરી કરો! એક, બે, ત્રણ, ચાર... બાવીસ, ત્રેવીસ... તમને કેટલા મળ્યા? હારી નથી? શું તમારી આંગળીથી ગણતરી કરવી મુશ્કેલ છે? બસ! ગણિતશાસ્ત્રીઓ પાસેથી એક ઉદાહરણ લો. તેઓ આળસુ છે, તેથી તેઓએ જોયું કે પૂલના જથ્થાની ગણતરી કરવા માટે, તમારે તેની લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈને એકબીજાથી ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. અમારા કિસ્સામાં, પૂલનું પ્રમાણ ક્યુબ્સ જેટલું હશે... સરળ, બરાબર ને?

હવે કલ્પના કરો કે જો તેઓ આને પણ સરળ બનાવે તો કેટલા આળસુ અને ઘડાયેલું ગણિતશાસ્ત્રીઓ હશે. અમે બધું એક ક્રિયામાં ઘટાડી દીધું. તેઓએ નોંધ્યું કે લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ સમાન છે અને તે જ સંખ્યાને પોતાના દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે... આનો અર્થ શું છે? આનો અર્થ એ કે તમે ડિગ્રીનો લાભ લઈ શકો છો. તેથી, તમે એકવાર તમારી આંગળીથી જે ગણ્યું છે, તે એક ક્રિયામાં કરે છે: ત્રણ ઘન સમાન છે. તે આ રીતે લખાયેલું છે: .

જે બાકી છે તે છે ડિગ્રીનું ટેબલ યાદ રાખો. સિવાય કે, અલબત્ત, તમે ગણિતશાસ્ત્રીઓ જેટલા આળસુ અને ઘડાયેલું છો. જો તમે સખત મહેનત અને ભૂલો કરવાનું પસંદ કરો છો, તો તમે તમારી આંગળીએ ગણતરી કરવાનું ચાલુ રાખી શકો છો.

ઠીક છે, આખરે તમને ખાતરી આપવા માટે કે ડિગ્રીની શોધ છોડી દેનારા અને ચાલાક લોકો દ્વારા તેમના જીવનની સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે કરવામાં આવી હતી, અને તમારા માટે સમસ્યાઓ ઊભી કરવા માટે નહીં, અહીં જીવનમાંથી કેટલાક વધુ ઉદાહરણો છે.

વાસ્તવિક જીવન ઉદાહરણ #4

તમારી પાસે એક મિલિયન રુબેલ્સ છે. દરેક વર્ષની શરૂઆતમાં, તમે બનાવેલા દરેક મિલિયન માટે, તમે બીજા મિલિયન કરો છો. એટલે કે, તમારા દરેક મિલિયન દર વર્ષની શરૂઆતમાં ડબલ થાય છે. વર્ષોમાં તમારી પાસે કેટલા પૈસા હશે? જો તમે અત્યારે બેઠા છો અને "આંગળીથી ગણી રહ્યા છો," તો તમે ખૂબ જ મહેનતુ વ્યક્તિ છો અને... મૂર્ખ છો. પરંતુ મોટે ભાગે તમે થોડી સેકંડમાં જવાબ આપશો, કારણ કે તમે સ્માર્ટ છો! તો, પહેલા વર્ષમાં - બેને બે વડે ગુણાકાર... બીજા વર્ષે - શું થયું, વધુ બે વડે, ત્રીજા વર્ષે... રોકો! તમે નોંધ્યું છે કે સંખ્યા પોતે જ વખતથી ગુણાકાર થાય છે. તો બેથી પાંચમી ઘાત એટલે લાખો! હવે કલ્પના કરો કે તમારી પાસે સ્પર્ધા છે અને જે સૌથી ઝડપી ગણી શકે છે તેને આ લાખો મળશે... સંખ્યાઓની શક્તિઓ યાદ રાખવા યોગ્ય છે, તમને નથી લાગતું?

વાસ્તવિક જીવન ઉદાહરણ #5

તમારી પાસે એક મિલિયન છે. દર વર્ષની શરૂઆતમાં, તમે કમાતા દરેક મિલિયન માટે, તમે વધુ બે કમાઓ છો. મહાન તે નથી? દરેક મિલિયન ત્રણ ગણો છે. એક વર્ષમાં તમારી પાસે કેટલા પૈસા હશે? ચાલો ગણતરી કરીએ. પ્રથમ વર્ષ - દ્વારા ગુણાકાર કરો, પછી બીજા દ્વારા પરિણામ... તે પહેલેથી જ કંટાળાજનક છે, કારણ કે તમે પહેલેથી જ બધું સમજી ગયા છો: ત્રણનો ગુણાકાર પોતે જ વખત થાય છે. તો ચોથી ઘાત માટે તે એક મિલિયન બરાબર છે. તમારે ફક્ત યાદ રાખવું પડશે કે ત્રણથી ચોથી શક્તિ છે અથવા.

હવે તમે જાણો છો કે સંખ્યાને શક્તિમાં વધારીને તમે તમારું જીવન ઘણું સરળ બનાવશો. ચાલો તમે ડિગ્રી સાથે શું કરી શકો અને તેના વિશે તમારે શું જાણવાની જરૂર છે તેના પર એક નજર કરીએ.

શરતો અને ખ્યાલો... જેથી મૂંઝવણમાં ન આવે

તેથી, પ્રથમ, ચાલો ખ્યાલોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ. તમે વિચારો છો ઘાતાંક શું છે? તે ખૂબ જ સરળ છે - તે સંખ્યા છે જે સંખ્યાની શક્તિની "ટોચ પર" છે. વૈજ્ઞાનિક નથી, પરંતુ સ્પષ્ટ અને યાદ રાખવામાં સરળ...

સારું, તે જ સમયે, શું આવી ડિગ્રીના આધારે? તેનાથી પણ સરળ - આ તે નંબર છે જે નીચે, આધાર પર સ્થિત છે.

સારા માપ માટે અહીં એક ચિત્ર છે.

વેલ માં સામાન્ય દૃશ્ય, સામાન્યીકરણ અને વધુ સારી રીતે યાદ રાખવા માટે... આધાર “ ” અને ઘાતાંક “ ” સાથેની ડિગ્રીને “ ડિગ્રી” તરીકે વાંચવામાં આવે છે અને નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવે છે:

કુદરતી ઘાત સાથે સંખ્યાની શક્તિ

તમે કદાચ પહેલેથી જ અનુમાન લગાવ્યું હશે: કારણ કે ઘાતાંક એ કુદરતી સંખ્યા છે. હા, પણ તે શું છે કુદરતી સંખ્યા? પ્રાથમિક! કુદરતી સંખ્યાઓ તે સંખ્યાઓ છે જેનો ઉપયોગ વસ્તુઓની યાદી કરતી વખતે ગણતરીમાં થાય છે: એક, બે, ત્રણ... જ્યારે આપણે વસ્તુઓની ગણતરી કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે એમ નથી કહેતા: “માઈનસ પાંચ,” “માઈનસ સિક્સ,” “માઈનસ સાત.” અમે એમ પણ નથી કહેતા: "એક તૃતીયાંશ", અથવા "શૂન્ય બિંદુ પાંચ". આ કુદરતી સંખ્યાઓ નથી. તમને લાગે છે કે આ કયા નંબરો છે?

“માઈનસ ફાઈવ”, “માઈનસ સિક્સ”, “માઈનસ સાત” જેવી સંખ્યાઓનો ઉલ્લેખ થાય છે સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ.સામાન્ય રીતે, પૂર્ણાંકોમાં તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની વિરુદ્ધ સંખ્યાઓ (એટલે ​​કે, ઓછા ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે) અને સંખ્યાનો સમાવેશ થાય છે. શૂન્ય સમજવું સરળ છે - જ્યારે કંઈ ન હોય ત્યારે તે થાય છે. નકારાત્મક ("માઈનસ") સંખ્યાઓનો અર્થ શું છે? પરંતુ તેમની શોધ મુખ્યત્વે દેવા દર્શાવવા માટે કરવામાં આવી હતી: જો તમારી પાસે તમારા ફોન પર રુબેલ્સમાં સંતુલન હોય, તો આનો અર્થ એ છે કે તમે ઓપરેટર રુબેલ્સના ઋણી છો.

બધા અપૂર્ણાંક પરિમેય સંખ્યાઓ છે. તેઓ કેવી રીતે ઉભા થયા, શું તમને લાગે છે? ખૂબ જ સરળ. કેટલાંક હજાર વર્ષ પહેલાં, આપણા પૂર્વજોએ શોધી કાઢ્યું હતું કે તેમની પાસે લંબાઈ, વજન, ક્ષેત્રફળ વગેરે માપવા માટે કુદરતી સંખ્યાઓ નથી. અને તેઓ સાથે આવ્યા તર્કસંગત સંખ્યાઓ... રસપ્રદ, તે નથી?

અતાર્કિક સંખ્યાઓ પણ છે. આ નંબરો શું છે? ટૂંકમાં, અનંત દશાંશ. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે વર્તુળના પરિઘને તેના વ્યાસથી વિભાજીત કરો છો, તો તમને અતાર્કિક સંખ્યા મળશે.

ફરી શરૂ કરો:

ચાલો ડિગ્રીની વિભાવનાને વ્યાખ્યાયિત કરીએ કે જેના ઘાતાંક કુદરતી સંખ્યા છે (એટલે ​​​​કે, પૂર્ણાંક અને ધન).

1. પ્રથમ ઘાતની કોઈપણ સંખ્યા તેના પોતાના સમાન છે:
2. સંખ્યાનો વર્ગ કરવાનો અર્થ થાય છે કે તેને જાતે જ ગુણાકાર કરવો:
3. સંખ્યાને ક્યુબ કરવાનો અર્થ થાય છે કે તેને ત્રણ વખત જાતે ગુણાકાર કરવો:

વ્યાખ્યા.સંખ્યાને પ્રાકૃતિક શક્તિમાં વધારવી એટલે સંખ્યાને પોતાનાથી અનેક વખત ગુણાકાર કરવી:
.

ડિગ્રીના ગુણધર્મો

આ મિલકતો ક્યાંથી આવી? હું તમને હવે બતાવીશ.

ચાલો જોઈએ: તે શું છે અને ?

વ્યાખ્યા દ્વારા:

કુલ કેટલા ગુણક છે?

તે ખૂબ જ સરળ છે: અમે પરિબળોમાં ગુણક ઉમેર્યા, અને પરિણામ ગુણક હતું.

પરંતુ વ્યાખ્યા દ્વારા, આ ઘાતાંક સાથેની સંખ્યાની શક્તિ છે, એટલે કે: , જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ: અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

ઉકેલ:

ઉદાહરણ:અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

ઉકેલ:આપણા નિયમમાં એ નોંધવું જરૂરી છે આવશ્યકપણેએ જ કારણો હોવા જોઈએ!
તેથી, અમે શક્તિઓને આધાર સાથે જોડીએ છીએ, પરંતુ તે એક અલગ પરિબળ રહે છે:

માત્ર શક્તિઓના ઉત્પાદન માટે!

કોઈ પણ સંજોગોમાં તમે તે લખી શકતા નથી.

2. બસ સંખ્યાની મી શક્તિ

અગાઉની મિલકતની જેમ, ચાલો ડિગ્રીની વ્યાખ્યા તરફ વળીએ:

તે તારણ આપે છે કે અભિવ્યક્તિ પોતે જ વખતથી ગુણાકાર થાય છે, એટલે કે, વ્યાખ્યા અનુસાર, આ સંખ્યાની મી શક્તિ છે:

સારમાં, આને "સૂચકને કૌંસમાંથી બહાર કાઢવું" કહી શકાય. પરંતુ તમે આ સંપૂર્ણ રીતે ક્યારેય કરી શકતા નથી:

ચાલો સંક્ષિપ્ત ગુણાકારના સૂત્રો યાદ રાખીએ: આપણે કેટલી વાર લખવા માગીએ છીએ?

પરંતુ છેવટે, આ સાચું નથી.

નકારાત્મક આધાર સાથે શક્તિ

આ બિંદુ સુધી, અમે માત્ર ચર્ચા કરી છે કે ઘાતાંક શું હોવું જોઈએ.

પરંતુ આધાર શું હોવો જોઈએ?

ની સત્તાઓમાં કુદરતી સૂચકઆધાર હોઈ શકે છે કોઈપણ સંખ્યા. ખરેખર, આપણે કોઈપણ સંખ્યાને એકબીજા વડે ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ, પછી ભલે તે સકારાત્મક હોય, નકારાત્મક હોય અથવા તો હોય.

ચાલો વિચારીએ કે કયા ચિહ્નો ("" અથવા "") પાસે હકારાત્મક અને ની ડિગ્રી હશે નકારાત્મક સંખ્યાઓ?

ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા હકારાત્મક કે નકારાત્મક છે? એ? ? પ્રથમ સાથે, બધું સ્પષ્ટ છે: ભલે આપણે એકબીજા દ્વારા કેટલી હકારાત્મક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરીએ, પરિણામ હકારાત્મક હશે.

પરંતુ નકારાત્મક થોડી વધુ રસપ્રદ છે. અમને 6ઠ્ઠા ધોરણનો સરળ નિયમ યાદ છે: "માઈનસ માટે માઈનસ વત્તા આપે છે." એટલે કે, અથવા. પરંતુ જો આપણે ગુણાકાર કરીએ, તો તે કાર્ય કરે છે.

નીચેના અભિવ્યક્તિઓમાં શું ચિહ્ન હશે તે તમારા માટે નક્કી કરો:

શું તમે મેનેજ કર્યું?

અહીં જવાબો છે: પ્રથમ ચાર ઉદાહરણોમાં, હું આશા રાખું છું કે બધું સ્પષ્ટ છે? અમે ફક્ત આધાર અને ઘાતાંકને જોઈએ છીએ અને યોગ્ય નિયમ લાગુ કરીએ છીએ.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ઉદાહરણ તરીકે 5) બધું લાગે છે તેટલું ડરામણી પણ નથી: છેવટે, આધાર શું સમાન છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી - ડિગ્રી સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે પરિણામ હંમેશા હકારાત્મક રહેશે.

ઠીક છે, સિવાય કે જ્યારે આધાર શૂન્ય હોય. આધાર સમાન નથી, તે છે? દેખીતી રીતે નથી, ત્યારથી (કારણ કે).

ઉદાહરણ 6) હવે એટલું સરળ નથી!

પ્રેક્ટિસ કરવા માટે 6 ઉદાહરણો

ઉકેલનું વિશ્લેષણ 6 ઉદાહરણો

જો આપણે આઠમી શક્તિને અવગણીએ, તો આપણે અહીં શું જોશું? ચાલો 7મા ધોરણનો કાર્યક્રમ યાદ કરીએ. તો, તમને યાદ છે? આ સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર માટેનું સૂત્ર છે, એટલે કે વર્ગોનો તફાવત! અમને મળે છે:

ચાલો છેદને ધ્યાનથી જોઈએ. તે અંશના પરિબળોમાંના એક જેવું લાગે છે, પરંતુ શું ખોટું છે? શરતોનો ક્રમ ખોટો છે. જો તેઓ ઉલટાવી દેવામાં આવે, તો નિયમ લાગુ થઈ શકે છે.

પરંતુ આ કેવી રીતે કરવું? તે તારણ આપે છે કે તે ખૂબ જ સરળ છે: છેદની સમાન ડિગ્રી અમને અહીં મદદ કરે છે.

જાદુઈ રીતે શરતો સ્થાનો બદલી. આ "ઘટના" કોઈપણ અભિવ્યક્તિને સમાન અંશે લાગુ પડે છે: અમે કૌંસમાંના ચિહ્નોને સરળતાથી બદલી શકીએ છીએ.

પરંતુ તે યાદ રાખવું અગત્યનું છે: બધા ચિહ્નો એક જ સમયે બદલાય છે!

ચાલો ઉદાહરણ પર પાછા જઈએ:

અને ફરીથી સૂત્ર:

સમગ્રઆપણે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ કહીએ છીએ, તેમના વિરોધી (એટલે ​​​​કે, " " ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે) અને સંખ્યા.

હકારાત્મક પૂર્ણાંક, અને તે કુદરતીથી અલગ નથી, પછી બધું બરાબર પાછલા વિભાગની જેમ દેખાય છે.

હવે નવા કેસો જોઈએ. ચાલો સમાન સૂચક સાથે પ્રારંભ કરીએ.

શૂન્ય ઘાતની કોઈપણ સંખ્યા એક સમાન છે:

હંમેશની જેમ, ચાલો આપણે આપણી જાતને પૂછીએ: આવું કેમ છે?

ચાલો આધાર સાથે અમુક ડિગ્રી ધ્યાનમાં લઈએ. ઉદાહરણ તરીકે લો અને વડે ગુણાકાર કરો:

તેથી, અમે સંખ્યાનો ગુણાકાર કર્યો, અને અમને તે જ વસ્તુ મળી - . તમારે કઈ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવો જોઈએ જેથી કંઈપણ બદલાય નહીં? તે સાચું છે, ચાલુ. અર્થ.

આપણે મનસ્વી નંબર સાથે તે જ કરી શકીએ છીએ:

ચાલો નિયમનું પુનરાવર્તન કરીએ:

શૂન્ય ઘાતની કોઈપણ સંખ્યા એક સમાન છે.

પરંતુ ઘણા નિયમોમાં અપવાદો છે. અને અહીં તે પણ છે - આ એક સંખ્યા છે (આધાર તરીકે).

એક તરફ, તે કોઈપણ ડિગ્રીની સમાન હોવી જોઈએ - ભલે તમે શૂન્યને પોતે કેટલો ગુણાકાર કરો, તમે હજી પણ શૂન્ય મેળવશો, આ સ્પષ્ટ છે. પરંતુ બીજી બાજુ, શૂન્ય શક્તિની કોઈપણ સંખ્યાની જેમ, તે સમાન હોવી જોઈએ. તો આમાં કેટલું સાચું છે? ગણિતશાસ્ત્રીઓએ સામેલ ન થવાનું નક્કી કર્યું અને શૂન્યથી શૂન્ય શક્તિ વધારવાનો ઇનકાર કર્યો. એટલે કે, હવે આપણે માત્ર શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી, પણ તેને વધારીને શૂન્ય શક્તિ સુધી પણ લઈ શકતા નથી.

ચાલો આગળ વધીએ. કુદરતી સંખ્યાઓ અને સંખ્યાઓ ઉપરાંત, પૂર્ણાંકોમાં નકારાત્મક સંખ્યાઓનો પણ સમાવેશ થાય છે. નકારાત્મક શક્તિ શું છે તે સમજવા માટે, ચાલો છેલ્લી વખત કરીએ: કેટલીક સામાન્ય સંખ્યાને સમાન સંખ્યા દ્વારા નકારાત્મક શક્તિમાં ગુણાકાર કરીએ:

અહીંથી તમે જે શોધી રહ્યાં છો તે વ્યક્ત કરવાનું સરળ છે:

હવે ચાલો પરિણામી નિયમને મનસ્વી ડિગ્રી સુધી વિસ્તારીએ:

તેથી, ચાલો એક નિયમ બનાવીએ:

નકારાત્મક શક્તિવાળી સંખ્યા એ સકારાત્મક શક્તિ સાથે સમાન સંખ્યાની પરસ્પર છે. પરંતુ તે જ સમયે આધાર શૂન્ય ન હોઈ શકે:(કારણ કે તમે વિભાજન કરી શકતા નથી).

ચાલો સારાંશ આપીએ:

I. કેસમાં અભિવ્યક્તિ વ્યાખ્યાયિત નથી. જો, તો.

II. શૂન્ય ઘાતની કોઈપણ સંખ્યા એક સમાન છે: .

III. ઋણ ઘાતની શૂન્યની બરાબર ન હોય તેવી સંખ્યા એ સકારાત્મક ઘાતની સમાન સંખ્યાનો વ્યસ્ત છે: .

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેના કાર્યો:

ઠીક છે, હંમેશની જેમ, સ્વતંત્ર ઉકેલો માટે ઉદાહરણો:

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે સમસ્યાઓનું વિશ્લેષણ:

હું જાણું છું, મને ખબર છે, સંખ્યાઓ ડરામણી છે, પરંતુ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પર તમારે કંઈપણ માટે તૈયાર રહેવું પડશે! આ ઉદાહરણો ઉકેલો અથવા તેમના ઉકેલોનું વિશ્લેષણ કરો જો તમે તેમને ઉકેલી શકતા નથી અને તમે પરીક્ષામાં સરળતાથી તેનો સામનો કરવાનું શીખી શકશો!

ચાલો ઘાતાંક તરીકે “યોગ્ય” સંખ્યાઓની શ્રેણીને વિસ્તૃત કરવાનું ચાલુ રાખીએ.

હવે વિચાર કરીએ તર્કસંગત સંખ્યાઓ.કઈ સંખ્યાઓને તર્કસંગત કહેવામાં આવે છે?

જવાબ: દરેક વસ્તુ જે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જ્યાં અને પૂર્ણાંકો છે, અને.

તે શું છે તે સમજવા માટે "અપૂર્ણાંક ડિગ્રી", અપૂર્ણાંકને ધ્યાનમાં લો:

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને ઘાતમાં વધારીએ:

હવે ચાલો નિયમ વિશે યાદ કરીએ "ડિગ્રી થી ડિગ્રી":

પાવર મેળવવા માટે કઈ સંખ્યા વધારવાની જરૂર છે?

આ ફોર્મ્યુલેશન એ મી ડિગ્રીના મૂળની વ્યાખ્યા છે.

ચાલો હું તમને યાદ અપાવી દઉં: સંખ્યા () ની મી ઘાતનું મૂળ એ એક સંખ્યા છે જે, જ્યારે ઘાત સુધી વધારવામાં આવે છે, તે બરાબર છે.

એટલે કે, મી પાવરનું મૂળ એ પાવર વધારવાની વ્યસ્ત ક્રિયા છે: .

તે તારણ આપે છે કે. દેખીતી રીતે, આ વિશિષ્ટ કેસને વિસ્તૃત કરી શકાય છે: .

હવે આપણે અંશ ઉમેરીએ છીએ: તે શું છે? પાવર-ટુ-પાવર નિયમનો ઉપયોગ કરીને જવાબ મેળવવા માટે સરળ છે:

પરંતુ આધાર કોઈપણ સંખ્યા હોઈ શકે છે? છેવટે, બધી સંખ્યાઓમાંથી રુટ કાઢી શકાતો નથી.

કોઈ નહીં!

ચાલો નિયમ યાદ રાખીએ: કોઈ પણ સંખ્યાને સમ ઘાતમાં વધારીને ધન સંખ્યા છે. એટલે કે, નકારાત્મક સંખ્યાઓમાંથી પણ મૂળ કાઢવાનું અશક્ય છે!

આનો અર્થ એ છે કે આવી સંખ્યાઓને સમ છેદ સાથે અપૂર્ણાંક શક્તિ સુધી વધારી શકાતી નથી, એટલે કે, અભિવ્યક્તિનો કોઈ અર્થ નથી.

અભિવ્યક્તિ વિશે શું?

પરંતુ અહીં એક સમસ્યા ઊભી થાય છે.

સંખ્યાને અન્ય, ઘટાડી શકાય તેવા અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, અથવા.

અને તે તારણ આપે છે કે તે અસ્તિત્વમાં છે, પરંતુ અસ્તિત્વમાં નથી, પરંતુ આ એક જ સંખ્યાના માત્ર બે અલગ અલગ રેકોર્ડ છે.

અથવા બીજું ઉદાહરણ: એકવાર, પછી તમે તેને લખી શકો છો. પરંતુ જો આપણે સૂચકને અલગ રીતે લખીશું, તો આપણે ફરીથી મુશ્કેલીમાં આવીશું: (એટલે ​​​​કે, અમને સંપૂર્ણપણે અલગ પરિણામ મળ્યું!).

આવા વિરોધાભાસને ટાળવા માટે, અમે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે માત્ર હકારાત્મક આધાર ઘાતાંક.

તેથી જો:

• - કુદરતી સંખ્યા;
• - પૂર્ણાંક;

ઉદાહરણો:

તર્કસંગત ઘાતાંક મૂળ સાથે અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરવા માટે ખૂબ જ ઉપયોગી છે, ઉદાહરણ તરીકે:

પ્રેક્ટિસ કરવા માટે 5 ઉદાહરણો

તાલીમ માટે 5 ઉદાહરણોનું વિશ્લેષણ

સારું, હવે સૌથી મુશ્કેલ ભાગ આવે છે. હવે અમે તેને આકૃતિ કરીશું અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી.

અહીં ડિગ્રીના તમામ નિયમો અને ગુણધર્મો અપવાદ સિવાય, તર્કસંગત ઘાતાંકવાળી ડિગ્રી માટે બરાબર સમાન છે.

છેવટે, વ્યાખ્યા દ્વારા, અતાર્કિક સંખ્યાઓ એવી સંખ્યાઓ છે જે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાતી નથી, જ્યાં અને પૂર્ણાંકો છે (એટલે ​​​​કે, અતાર્કિક સંખ્યાઓ તર્કસંગત સંખ્યાઓ સિવાયની બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે).

પ્રાકૃતિક, પૂર્ણાંક અને તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીનો અભ્યાસ કરતી વખતે, દરેક વખતે અમે ચોક્કસ “ઇમેજ”, “સામાન્યતા” અથવા વધુ પરિચિત શબ્દોમાં વર્ણન બનાવીએ છીએ.

ઉદાહરણ તરીકે, પ્રાકૃતિક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી એ સંખ્યા છે જે પોતાના દ્વારા ઘણી વખત ગુણાકાર કરવામાં આવે છે;

...શૂન્ય શક્તિની સંખ્યા- આ તે છે, જેમ કે, એક નંબર એક વાર પોતે જ ગુણાકાર કરે છે, એટલે કે, તેઓએ હજી સુધી તેનો ગુણાકાર કરવાનું શરૂ કર્યું નથી, જેનો અર્થ એ છે કે સંખ્યા પોતે હજી દેખાઈ નથી - તેથી પરિણામ ફક્ત એક ચોક્કસ "ખાલી સંખ્યા" છે , એટલે કે સંખ્યા;

...નકારાત્મક પૂર્ણાંક ડિગ્રી- એવું લાગે છે કે કેટલીક "વિપરીત પ્રક્રિયા" આવી છે, એટલે કે, સંખ્યા પોતે ગુણાકાર કરવામાં આવી ન હતી, પરંતુ વિભાજિત થઈ હતી.

માર્ગ દ્વારા, વિજ્ઞાનમાં જટિલ ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે, એટલે કે, ઘાતાંક વાસ્તવિક સંખ્યા પણ નથી.

પરંતુ શાળામાં અમે આવી મુશ્કેલીઓ વિશે વિચારતા નથી; તમને સંસ્થામાં આ નવા ખ્યાલોને સમજવાની તક મળશે.

જ્યાં અમને ખાતરી છે કે તમે જશો! (જો તમે આવા ઉદાહરણો ઉકેલતા શીખો તો :))

ઉદાહરણ તરીકે:

તમારા માટે નક્કી કરો:

ઉકેલોનું વિશ્લેષણ:

1. ચાલો પાવરને પાવર વધારવા માટેના સામાન્ય નિયમથી શરૂઆત કરીએ:

હવે સૂચક જુઓ. શું તે તમને કંઈપણ યાદ અપાવતું નથી? ચાલો વર્ગોના તફાવતના સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર માટેના સૂત્રને યાદ કરીએ:

આ કિસ્સામાં,

તે તારણ આપે છે કે:

જવાબ: .

2. અમે ઘાતાંકમાં અપૂર્ણાંકને ઘટાડીએ છીએ સમાન દેખાવ: કાં તો દશાંશ અથવા બંને નિયમિત. અમને મળે છે, ઉદાહરણ તરીકે:

જવાબ: 16

3. કંઈ ખાસ નથી, અમે ડિગ્રીના સામાન્ય ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

એડવાન્સ્ડ લેવલ

ડિગ્રીનું નિર્ધારણ

ડિગ્રી એ ફોર્મની અભિવ્યક્તિ છે: , જ્યાં:

• — ડિગ્રી આધાર;
• - ઘાતાંક.

કુદરતી સૂચક સાથે ડિગ્રી (n = 1, 2, 3,...)

સંખ્યાને પ્રાકૃતિક શક્તિ n સુધી વધારવાનો અર્થ એ છે કે સંખ્યાને પોતાના દ્વારા ગુણાકાર કરવો:

પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી (0, ±1, ±2,...)

જો ઘાત છે હકારાત્મક પૂર્ણાંકસંખ્યા:

બાંધકામ શૂન્ય ડિગ્રી સુધી:

અભિવ્યક્તિ અનિશ્ચિત છે, કારણ કે, એક તરફ, કોઈપણ ડિગ્રી આ છે, અને બીજી બાજુ, મી ડિગ્રી સુધીની કોઈપણ સંખ્યા આ છે.

જો ઘાત છે નકારાત્મક પૂર્ણાંકસંખ્યા:

(કારણ કે તમે વિભાજન કરી શકતા નથી).

શૂન્ય વિશે ફરી એકવાર: અભિવ્યક્તિ કિસ્સામાં વ્યાખ્યાયિત નથી. જો, તો.

ઉદાહરણો:

તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની શક્તિ

• - કુદરતી સંખ્યા;
• - પૂર્ણાંક;

ઉદાહરણો:

ડિગ્રીના ગુણધર્મો

સમસ્યાઓ હલ કરવાનું સરળ બનાવવા માટે, ચાલો સમજવાનો પ્રયાસ કરીએ: આ ગુણધર્મો ક્યાંથી આવી? ચાલો તેમને સાબિત કરીએ.

ચાલો જોઈએ: શું છે અને?

વ્યાખ્યા દ્વારા:

તેથી, આ અભિવ્યક્તિની જમણી બાજુએ આપણને નીચેનું ઉત્પાદન મળે છે:

પરંતુ વ્યાખ્યા દ્વારા તે ઘાતાંક સાથે સંખ્યાની શક્તિ છે, એટલે કે:

Q.E.D.

ઉદાહરણ : અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

ઉકેલ : .

ઉદાહરણ : અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

ઉકેલ : આપણા નિયમમાં એ નોંધવું જરૂરી છે આવશ્યકપણેત્યાં સમાન કારણો હોવા જોઈએ. તેથી, અમે શક્તિઓને આધાર સાથે જોડીએ છીએ, પરંતુ તે એક અલગ પરિબળ રહે છે:

બીજી મહત્વપૂર્ણ નોંધ: આ નિયમ - માત્ર શક્તિના ઉત્પાદન માટે!

કોઈ પણ સંજોગોમાં તમે તે લખી શકતા નથી.

અગાઉની મિલકતની જેમ, ચાલો ડિગ્રીની વ્યાખ્યા તરફ વળીએ:

ચાલો આ કાર્યને આ રીતે ફરીથી ગોઠવીએ:

તે તારણ આપે છે કે અભિવ્યક્તિ પોતે જ વખતથી ગુણાકાર થાય છે, એટલે કે, વ્યાખ્યા અનુસાર, આ સંખ્યાની મી શક્તિ છે:

સારમાં, આને "સૂચકને કૌંસમાંથી બહાર કાઢવું" કહી શકાય. પરંતુ તમે આ ક્યારેય કરી શકતા નથી: !

ચાલો સંક્ષિપ્ત ગુણાકારના સૂત્રો યાદ રાખીએ: આપણે કેટલી વાર લખવા માગીએ છીએ? પરંતુ છેવટે, આ સાચું નથી.

નકારાત્મક આધાર સાથે પાવર.

આ બિંદુ સુધી આપણે ફક્ત તે કેવું હોવું જોઈએ તેની ચર્ચા કરી છે સૂચકડિગ્રી પરંતુ આધાર શું હોવો જોઈએ? ની સત્તાઓમાં કુદરતી સૂચક આધાર હોઈ શકે છે કોઈપણ સંખ્યા .

ખરેખર, આપણે કોઈપણ સંખ્યાને એકબીજા વડે ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ, પછી ભલે તે સકારાત્મક હોય, નકારાત્મક હોય અથવા તો હોય. ચાલો વિચાર કરીએ કે કયા ચિહ્નો ("" અથવા "") પાસે સકારાત્મક અને નકારાત્મક સંખ્યાઓની શક્તિઓ હશે?

ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા હકારાત્મક કે નકારાત્મક છે? એ? ?

પ્રથમ સાથે, બધું સ્પષ્ટ છે: ભલે આપણે એકબીજા દ્વારા કેટલી હકારાત્મક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરીએ, પરિણામ હકારાત્મક હશે.

પરંતુ નકારાત્મક થોડી વધુ રસપ્રદ છે. અમને 6ઠ્ઠા ધોરણનો સરળ નિયમ યાદ છે: "માઈનસ માટે માઈનસ વત્તા આપે છે." એટલે કે, અથવા. પરંતુ જો આપણે () વડે ગુણાકાર કરીએ, તો આપણને - મળે છે.

અને તેથી જાહેરાત અનંત: દરેક અનુગામી ગુણાકાર સાથે ચિહ્ન બદલાશે. અમે નીચેની રચના કરી શકીએ છીએ સરળ નિયમો:

1. સમડિગ્રી, - નંબર હકારાત્મક.
2. ઋણ સંખ્યા સુધી વધારી વિચિત્રડિગ્રી, - નંબર નકારાત્મક.
3. કોઈપણ ડિગ્રી માટે ધન સંખ્યા એ ધન સંખ્યા છે.
4. કોઈપણ શક્તિ માટે શૂન્ય શૂન્ય બરાબર છે.

નીચેના અભિવ્યક્તિઓમાં શું ચિહ્ન હશે તે તમારા માટે નક્કી કરો:

શું તમે મેનેજ કર્યું? અહીં જવાબો છે:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

પ્રથમ ચાર ઉદાહરણોમાં, હું આશા રાખું છું કે બધું સ્પષ્ટ છે? અમે ફક્ત આધાર અને ઘાતાંકને જોઈએ છીએ અને યોગ્ય નિયમ લાગુ કરીએ છીએ.

ઉદાહરણ તરીકે 5) બધું લાગે છે તેટલું ડરામણી પણ નથી: છેવટે, આધાર શું સમાન છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી - ડિગ્રી સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે પરિણામ હંમેશા હકારાત્મક રહેશે. ઠીક છે, સિવાય કે જ્યારે આધાર શૂન્ય હોય. આધાર સમાન નથી, તે છે? દેખીતી રીતે નથી, ત્યારથી (કારણ કે).

ઉદાહરણ 6) હવે એટલું સરળ નથી. અહીં તમારે શોધવાની જરૂર છે કે જે ઓછું છે: અથવા? જો આપણે તે યાદ રાખીએ, તો તે સ્પષ્ટ થાય છે કે, અને તેથી આધાર શૂન્ય કરતાં ઓછું. એટલે કે, અમે નિયમ 2 લાગુ કરીએ છીએ: પરિણામ નકારાત્મક હશે.

અને ફરીથી આપણે ડિગ્રીની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

બધું હંમેશની જેમ છે - અમે ડિગ્રીની વ્યાખ્યા લખીએ છીએ અને તેમને એકબીજા દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ, તેમને જોડીમાં વિભાજીત કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:

છેલ્લા નિયમને જોઈએ તે પહેલાં, ચાલો થોડા ઉદાહરણો ઉકેલીએ.

અભિવ્યક્તિઓની ગણતરી કરો:

ઉકેલો :

જો આપણે આઠમી શક્તિને અવગણીએ, તો આપણે અહીં શું જોશું? ચાલો 7મા ધોરણનો કાર્યક્રમ યાદ કરીએ. તો, તમને યાદ છે? આ સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર માટેનું સૂત્ર છે, એટલે કે વર્ગોનો તફાવત!

અમને મળે છે:

ચાલો છેદને ધ્યાનથી જોઈએ. તે અંશના પરિબળોમાંના એક જેવું લાગે છે, પરંતુ શું ખોટું છે? શરતોનો ક્રમ ખોટો છે. જો તેઓને ઉલટાવી દેવામાં આવે, તો નિયમ 3 લાગુ થઈ શકે છે પરંતુ કેવી રીતે? તે તારણ આપે છે કે તે ખૂબ જ સરળ છે: છેદની સમાન ડિગ્રી અમને અહીં મદદ કરે છે.

જો તમે તેને વડે ગુણાકાર કરો તો કંઈ બદલાતું નથી, ખરું ને? પરંતુ હવે તે આના જેવું બહાર આવ્યું છે:

જાદુઈ રીતે શરતો સ્થાનો બદલી. આ "ઘટના" કોઈપણ અભિવ્યક્તિને સમાન અંશે લાગુ પડે છે: અમે કૌંસમાંના ચિહ્નોને સરળતાથી બદલી શકીએ છીએ. પરંતુ તે યાદ રાખવું અગત્યનું છે: બધા ચિહ્નો એક જ સમયે બદલાય છે!અમને ન ગમતી માત્ર એક ગેરલાભ બદલીને તમે તેને બદલી શકતા નથી!

ચાલો ઉદાહરણ પર પાછા જઈએ:

અને ફરીથી સૂત્ર:

તો હવે છેલ્લો નિયમ:

અમે તેને કેવી રીતે સાબિત કરીશું? અલબત્ત, હંમેશની જેમ: ચાલો ડિગ્રીના ખ્યાલને વિસ્તૃત કરીએ અને તેને સરળ બનાવીએ:

સારું, હવે ચાલો કૌંસ ખોલીએ. કુલ કેટલા અક્ષરો છે? ગુણક દ્વારા વખત - આ તમને શું યાદ અપાવે છે? આ ઓપરેશનની વ્યાખ્યા કરતાં વધુ કંઈ નથી ગુણાકાર: ત્યાં માત્ર ગુણક હતા. એટલે કે, આ, વ્યાખ્યા દ્વારા, ઘાતાંક સાથેની સંખ્યાની શક્તિ છે:

ઉદાહરણ:

અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી

સરેરાશ સ્તર માટે ડિગ્રી વિશેની માહિતી ઉપરાંત, અમે અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીનું વિશ્લેષણ કરીશું. ડિગ્રીના બધા નિયમો અને ગુણધર્મો અહીં અપવાદ સિવાય, તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી માટે બરાબર સમાન છે - છેવટે, વ્યાખ્યા દ્વારા, અતાર્કિક સંખ્યાઓ એવી સંખ્યાઓ છે જે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાતી નથી, જ્યાં અને પૂર્ણાંકો છે (એટલે ​​​​કે , અતાર્કિક સંખ્યાઓ પરિમેય સંખ્યાઓ સિવાયની બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે).

પ્રાકૃતિક, પૂર્ણાંક અને તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીનો અભ્યાસ કરતી વખતે, દરેક વખતે અમે ચોક્કસ “ઇમેજ”, “સામાન્યતા” અથવા વધુ પરિચિત શબ્દોમાં વર્ણન બનાવીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રાકૃતિક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી એ સંખ્યા છે જે પોતાના દ્વારા ઘણી વખત ગુણાકાર કરવામાં આવે છે; શૂન્ય ઘાતની સંખ્યા એ છે, જેમ કે તે હતી, એક સંખ્યા જે તેના પોતાના દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, એટલે કે, તેઓએ હજી સુધી તેનો ગુણાકાર કરવાનું શરૂ કર્યું નથી, જેનો અર્થ એ છે કે સંખ્યા પોતે હજી દેખાઈ નથી - તેથી પરિણામ ફક્ત ચોક્કસ છે "ખાલી સંખ્યા", એટલે કે સંખ્યા; પૂર્ણાંક નકારાત્મક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી - એવું લાગે છે કે કેટલીક "વિપરીત પ્રક્રિયા" આવી છે, એટલે કે, સંખ્યા પોતે ગુણાકાર કરવામાં આવી ન હતી, પરંતુ વિભાજિત થઈ હતી.

અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની કલ્પના કરવી અત્યંત મુશ્કેલ છે (જેમ કે 4-પરિમાણીય જગ્યાની કલ્પના કરવી મુશ્કેલ છે). તે તદ્દન ગાણિતિક પદાર્થ છે જે ગણિતશાસ્ત્રીઓએ ડિગ્રીના ખ્યાલને સંખ્યાઓની સમગ્ર જગ્યા સુધી વિસ્તારવા માટે બનાવ્યો છે.

માર્ગ દ્વારા, વિજ્ઞાનમાં જટિલ ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે, એટલે કે, ઘાતાંક વાસ્તવિક સંખ્યા પણ નથી. પરંતુ શાળામાં અમે આવી મુશ્કેલીઓ વિશે વિચારતા નથી; તમને સંસ્થામાં આ નવા ખ્યાલોને સમજવાની તક મળશે.

તો જો આપણે અતાર્કિક ઘાતાંક જોઈએ તો શું કરવું? અમે તેનાથી છુટકારો મેળવવા માટે અમારા શ્રેષ્ઠ પ્રયાસો કરી રહ્યા છીએ :)

ઉદાહરણ તરીકે:

તમારા માટે નક્કી કરો:

જવાબો:

1. ચાલો સ્ક્વેર ફોર્મ્યુલાના તફાવતને યાદ કરીએ. જવાબ:.
2. અમે અપૂર્ણાંકને સમાન સ્વરૂપમાં ઘટાડીએ છીએ: કાં તો બંને દશાંશ અથવા બંને સામાન્ય. અમને મળે છે, ઉદાહરણ તરીકે: .
3. કંઈ ખાસ નથી, અમે ડિગ્રીના સામાન્ય ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

વિભાગ અને મૂળભૂત સૂત્રોનો સારાંશ

ડીગ્રીફોર્મની અભિવ્યક્તિ કહેવાય છે: , જ્યાં:

પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી

એક ડિગ્રી જેની ઘાત એક કુદરતી સંખ્યા છે (એટલે ​​​​કે, પૂર્ણાંક અને ધન).

તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની શક્તિ

ડિગ્રી, જેનો ઘાતાંક ઋણ અને અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે.

અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી

એક ડિગ્રી જેનો ઘાતાંક અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક અથવા મૂળ છે.

ડિગ્રીના ગુણધર્મો

ડિગ્રીની વિશેષતાઓ.

• ઋણ સંખ્યા સુધી વધારી સમડિગ્રી, - નંબર હકારાત્મક.
• ઋણ સંખ્યા સુધી વધારી વિચિત્રડિગ્રી, - નંબર નકારાત્મક.
• કોઈપણ ડિગ્રી માટે ધન સંખ્યા એ ધન સંખ્યા છે.
• શૂન્ય એ કોઈપણ શક્તિ સમાન છે.
• શૂન્ય ઘાતની કોઈપણ સંખ્યા સમાન છે.

હવે તમારી પાસે શબ્દ છે...

તમને લેખ કેવો લાગ્યો? નીચે કોમેન્ટમાં લખો કે તમને તે ગમ્યું કે નહીં.

ડિગ્રી પ્રોપર્ટીઝનો ઉપયોગ કરીને તમારા અનુભવ વિશે અમને કહો.

કદાચ તમારી પાસે પ્રશ્નો છે. અથવા સૂચનો.

ટિપ્પણીઓમાં લખો.

અને તમારી પરીક્ષા માટે સારા નસીબ!

કેલ્ક્યુલેટર તમને ઝડપથી ઓનલાઈન પાવર પર નંબર વધારવામાં મદદ કરે છે. ડિગ્રીનો આધાર કોઈપણ સંખ્યા (પૂર્ણાંક અને વાસ્તવિક બંને) હોઈ શકે છે. ઘાતાંક પૂર્ણાંક અથવા વાસ્તવિક પણ હોઈ શકે છે, અને હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક પણ હોઈ શકે છે. મહેરબાની કરીને યાદ રાખો કે ઋણ સંખ્યાઓ માટે, બિન-પૂર્ણાંક શક્તિ સુધી વધારવાનું અવ્યાખ્યાયિત છે અને તેથી જો તમે તેનો પ્રયાસ કરશો તો કેલ્ક્યુલેટર ભૂલની જાણ કરશે.

ડિગ્રી કેલ્ક્યુલેટર

સત્તામાં વધારો

ઘાત: 20880

સંખ્યાની કુદરતી શક્તિ શું છે?

સંખ્યા p એ સંખ્યાની nમી ઘાત કહેવાય છે જો p એ સંખ્યાને n વખતથી ગુણાકાર કરે છે: p = a n = a·...·a
n - કહેવાય છે ઘાત, અને નંબર a છે ડિગ્રીના આધારે.

કુદરતી શક્તિમાં સંખ્યા કેવી રીતે વધારવી?

કુદરતી શક્તિઓ માટે વિવિધ સંખ્યાઓ કેવી રીતે વધારવી તે સમજવા માટે, કેટલાક ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લો:

ઉદાહરણ 1. નંબર ત્રણથી ચોથા ઘાતમાં વધારો. એટલે કે, 3 4 ની ગણતરી કરવી જરૂરી છે
ઉકેલ: ઉપર જણાવ્યા મુજબ, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
જવાબ આપો: 3 4 = 81 .

ઉદાહરણ 2. પાંચની સંખ્યાને પાંચમી ઘાતમાં વધારો. એટલે કે, 5% ની ગણતરી કરવી જરૂરી છે
ઉકેલ: એ જ રીતે, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
જવાબ આપો: 5 5 = 3125 .

આમ, સંખ્યાને કુદરતી શક્તિમાં વધારવા માટે, તમારે ફક્ત તેને n વખતથી ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

સંખ્યાની નકારાત્મક શક્તિ શું છે?

આ કિસ્સામાં, નકારાત્મક શક્તિ માત્ર બિન-શૂન્ય સંખ્યાઓ માટે અસ્તિત્વમાં છે, કારણ કે અન્યથા શૂન્ય દ્વારા વિભાજન થશે.

સંખ્યાને નકારાત્મક પૂર્ણાંક ઘાતમાં કેવી રીતે વધારવી?

બિન-શૂન્ય સંખ્યાને નકારાત્મક શક્તિમાં વધારવા માટે, તમારે આ સંખ્યાના મૂલ્યની સમાન હકારાત્મક શક્તિની ગણતરી કરવાની અને પરિણામ દ્વારા એકને વિભાજિત કરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ 1. નંબર બે ને ઋણ ચોથી ઘાત સુધી વધારી દો. એટલે કે, તમારે 2 -4 ની ગણતરી કરવાની જરૂર છે

જવાબ આપો: 2 -4 = 0.0625 .

તે સ્પષ્ટ છે કે અન્ય જથ્થાઓની જેમ સત્તાઓ સાથેની સંખ્યાઓ ઉમેરી શકાય છે , તેમને તેમના ચિહ્નો સાથે એક પછી એક ઉમેરીને.

તેથી, a 3 અને b 2 નો સરવાળો એ 3 + b 2 છે.
a 3 - b n અને h 5 -d 4 નો સરવાળો a 3 - b n + h 5 - d 4 છે.

મતભેદ સમાન ડિગ્રીસમાન ચલોઉમેરી અથવા બાદ કરી શકાય છે.

તેથી, 2a 2 અને 3a 2 નો સરવાળો 5a 2 બરાબર છે.

તે પણ સ્પષ્ટ છે કે જો તમે બે ચોરસ a, અથવા ત્રણ ચોરસ a, અથવા પાંચ ચોરસ a લો છો.

પરંતુ ડિગ્રીઓ વિવિધ ચલોઅને વિવિધ ડિગ્રીઓ સમાન ચલો, તેમને તેમના ચિહ્નો સાથે ઉમેરીને કંપોઝ કરવું આવશ્યક છે.

તેથી, a 2 અને a 3 નો સરવાળો એ 2 + a 3 નો સરવાળો છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે a નો વર્ગ અને a નો ઘન, a ના ચોરસના બમણા સમાન નથી, પરંતુ a ના ઘન ના બમણા સમાન છે.

a 3 b n અને 3a 5 b 6 નો સરવાળો a 3 b n + 3a 5 b 6 છે.

બાદબાકીવધારાની જેમ જ સત્તાઓ હાથ ધરવામાં આવે છે, સિવાય કે સબટ્રાહેન્ડ્સના ચિહ્નો તે મુજબ બદલાવા જોઈએ.

અથવા:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

ગુણાકાર શક્તિઓ

અન્ય જથ્થાઓની જેમ, એક પછી એક લખીને, તેમની વચ્ચે ગુણાકારની ચિહ્ન સાથે અથવા તેના વગર સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરી શકાય છે.

આમ, 3 ને b 2 વડે ગુણાકાર કરવાનું પરિણામ એ 3 b 2 અથવા aaabb છે.

અથવા:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

છેલ્લા ઉદાહરણમાં પરિણામ સમાન ચલો ઉમેરીને ઓર્ડર કરી શકાય છે.
અભિવ્યક્તિ ફોર્મ લેશે: a 5 b 5 y 3.

સંખ્યાબંધ સંખ્યાઓ (ચલો) ને શક્તિઓ સાથે સરખાવીને, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે જો તેમાંથી કોઈપણ બેનો ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો પરિણામ એ સંખ્યા (ચલ) છે જેની શક્તિ સમાન છે. રકમશરતોની ડિગ્રી.

તેથી, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

અહીં 5 એ ગુણાકારના પરિણામની શક્તિ છે, જે 2 + 3 ની બરાબર છે, શરતોની શક્તિઓનો સરવાળો છે.

તેથી, a n .a m = a m+n .

n માટે , a એ n ની ઘાત જેટલી વખત અવયવ તરીકે લેવામાં આવે છે;

અને ડિગ્રી m જેટલી હોય તેટલી વખત એક m અવયવ તરીકે લેવામાં આવે છે;

તેથી જ, સમાન આધારો સાથેની શક્તિઓનો ઘાતાંક ઉમેરીને ગુણાકાર કરી શકાય છે.

તેથી, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . અને x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

અથવા:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

ગુણાકાર કરો (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
જવાબ: x 4 - y 4.
ગુણાકાર કરો (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

આ નિયમ સંખ્યાઓ માટે પણ સાચો છે જેના ઘાતાંક છે નકારાત્મક.

1. તેથી, a -2 .a -3 = a -5 . આને (1/aa) તરીકે લખી શકાય.(1/aaa) = 1/aaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

જો a + b ને a - b વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે તો પરિણામ 2 - b 2 આવશે: એટલે કે

બે સંખ્યાઓના સરવાળા અથવા તફાવતને ગુણાકાર કરવાનું પરિણામ તેમના વર્ગોના સરવાળા અથવા તફાવતની બરાબર છે.

જો તમે વધેલી બે સંખ્યાઓનો સરવાળો અને તફાવતનો ગુણાકાર કરો ચોરસ, પરિણામ આ સંખ્યાઓના સરવાળા અથવા તફાવતની બરાબર હશે ચોથુંડિગ્રી

તેથી, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

ડિગ્રીઓનું વિભાજન

ડિવિડન્ડમાંથી બાદબાકી કરીને અથવા તેને અપૂર્ણાંક સ્વરૂપમાં મૂકીને સત્તાઓ ધરાવતી સંખ્યાઓને અન્ય સંખ્યાઓની જેમ વિભાજિત કરી શકાય છે.

આમ, a 3 b 2 ભાગ્યા b 2 એ 3 બરાબર છે.

અથવા:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5 ને 3 વડે ભાગ્યા લખવું એ $\frac(a^5)(a^3)$ જેવું લાગે છે. પરંતુ આ 2 બરાબર છે. સંખ્યાઓની શ્રેણીમાં
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
કોઈપણ સંખ્યાને બીજા વડે ભાગી શકાય છે, અને ઘાતાંક બરાબર હશે તફાવતવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સૂચક.

સમાન આધાર સાથે ડિગ્રીને વિભાજિત કરતી વખતે, તેમના ઘાતાંક બાદ કરવામાં આવે છે..

તેથી, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. એટલે કે, $\frac(yyy)(yy) = y$.

અને n+1:a = a n+1-1 = a n . એટલે કે, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

અથવા:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

સાથેની સંખ્યાઓ માટે પણ નિયમ સાચો છે નકારાત્મકડિગ્રીના મૂલ્યો.
a -5 ને a -3 વડે ભાગવાનું પરિણામ a -2 છે.
ઉપરાંત, $\frac(1)(aaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 અથવા $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

શક્તિઓના ગુણાકાર અને વિભાજનમાં ખૂબ જ સારી રીતે નિપુણતા મેળવવી જરૂરી છે, કારણ કે આવી કામગીરી બીજગણિતમાં ખૂબ વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે.

સત્તાઓ સાથે સંખ્યાઓ ધરાવતા અપૂર્ણાંકો સાથે ઉદાહરણો ઉકેલવાના ઉદાહરણો

1. $\frac(5a^4)(3a^2)$ દ્વારા ઘાતાંકમાં ઘટાડો કરો જવાબ: $\frac(5a^2)(3)$.

2. ઘાતાંકમાં $\frac(6x^6)(3x^5)$ દ્વારા ઘટાડો. જવાબ: $\frac(2x)(1)$ અથવા 2x.

3. 2 /a 3 અને a -3 /a -4 ઘાતાંક ઘટાડીને સામાન્ય છેદ પર લાવો.
a 2 .a -4 એ -2 પ્રથમ અંશ છે.
a 3 .a -3 એ 0 = 1 છે, બીજો અંશ.
a 3 .a -4 એ -1 છે, સામાન્ય અંશ.
સરળીકરણ પછી: a -2 /a -1 અને 1/a -1 .

4. ઘાતાંક 2a 4/5a 3 અને 2 /a 4 ને ઘટાડીને સામાન્ય છેદ પર લાવો.
જવાબ: 2a 3/5a 7 અને 5a 5/5a 7 અથવા 2a 3/5a 2 અને 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 ને (a - b)/3 વડે ગુણાકાર કરો.

6. (a 5 + 1)/x 2 ને (b 2 - 1)/(x + a) વડે ગુણાકાર કરો.

7. b 4 /a -2 ને h -3 /x અને a n /y -3 વડે ગુણાકાર કરો.

8. 4 /y 3 ને 3 /y 2 વડે ભાગો. જવાબ: a/y.

9. ભાગાકાર (h 3 - 1)/d 4 દ્વારા (d n + 1)/h.

શક્તિનો ઉપયોગ સંખ્યાને પોતાના દ્વારા ગુણાકાર કરવાની ક્રિયાને સરળ બનાવવા માટે થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, લખવાને બદલે, તમે લખી શકો છો 4 5 (\Displaystyle 4^(5))(આ સંક્રમણ માટેની સમજૂતી આ લેખના પ્રથમ વિભાગમાં આપવામાં આવી છે). ડિગ્રી લાંબા અથવા જટિલ અભિવ્યક્તિઓ અથવા સમીકરણો લખવાનું સરળ બનાવે છે; સત્તાઓ ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવા માટે પણ સરળ છે, પરિણામે એક સરળ અભિવ્યક્તિ અથવા સમીકરણ (ઉદાહરણ તરીકે, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

નોંધ:જો તમારે નક્કી કરવાની જરૂર હોય ઘાતાંકીય સમીકરણ(આવા સમીકરણમાં અજ્ઞાત ઘાતાંકમાં છે), વાંચો.

પગલાં

ડિગ્રી સાથે સરળ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

ઘાતાંકના પાયાને ઘાતાંકની સમાન સંખ્યાના પોતાના દ્વારા ગુણાકાર કરો.જો તમારે પાવર સમસ્યાને હાથથી હલ કરવાની જરૂર હોય, તો પાવરને ગુણાકારની ક્રિયા તરીકે ફરીથી લખો, જ્યાં પાવરનો આધાર પોતે જ ગુણાકાર થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ડિગ્રી આપવામાં આવે છે 3 4 (\Displaystyle 3^(4)). આ કિસ્સામાં, પાવર 3 નો આધાર 4 વખત પોતાના દ્વારા ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\Displaystyle 3*3*3*3). અહીં અન્ય ઉદાહરણો છે:

પ્રથમ, પ્રથમ બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરો.ઉદાહરણ તરીકે, 4 5 (\Displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\Displaystyle 4*4*4*4*4). ચિંતા કરશો નહીં - ગણતરી પ્રક્રિયા એટલી જટિલ નથી જેટલી તે પ્રથમ નજરમાં લાગે છે. પહેલા પ્રથમ બે ચોગ્ગાનો ગુણાકાર કરો અને પછી પરિણામ સાથે બદલો. આની જેમ:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. પરિણામ (અમારા ઉદાહરણમાં 16) ને આગલી સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરો.દરેક અનુગામી પરિણામ પ્રમાણસર વધશે. અમારા ઉદાહરણમાં, 16 ને 4 વડે ગુણાકાર કરો. આની જેમ:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • જ્યાં સુધી તમને તમારો અંતિમ જવાબ ન મળે ત્યાં સુધી પ્રથમ બે સંખ્યાના પરિણામને આગલી સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવાનું ચાલુ રાખો. આ કરવા માટે, પ્રથમ બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરો, અને પછી પરિણામી પરિણામને અનુક્રમમાં આગલી સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરો. આ પદ્ધતિ કોઈપણ ડિગ્રી માટે માન્ય છે. અમારા ઉદાહરણમાં તમારે આ મેળવવું જોઈએ: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. નીચેની સમસ્યાઓ હલ કરો.કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને તમારો જવાબ તપાસો.

   • 8 2 (\Displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\Displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\Displaystyle 10^(7))

3. તમારા કેલ્ક્યુલેટર પર, "exp" અથવા "" લેબલવાળી કી શોધો x n (\displaystyle x^(n))", અથવા "^".આ કીનો ઉપયોગ કરીને તમે સંખ્યાને પાવરમાં વધારશો. મેન્યુઅલી મોટા સૂચક સાથે ડિગ્રીની ગણતરી કરવી લગભગ અશક્ય છે (ઉદાહરણ તરીકે, ડિગ્રી 9 15 (\Displaystyle 9^(15))), પરંતુ કેલ્ક્યુલેટર સરળતાથી આ કાર્યનો સામનો કરી શકે છે. Windows 7 માં, પ્રમાણભૂત કેલ્ક્યુલેટરને એન્જિનિયરિંગ મોડ પર સ્વિચ કરી શકાય છે; આ કરવા માટે, "જુઓ" -> "એન્જિનિયરિંગ" પર ક્લિક કરો. સામાન્ય મોડ પર સ્વિચ કરવા માટે, "જુઓ" -> "સામાન્ય" પર ક્લિક કરો.

   • નો ઉપયોગ કરીને તમારો જવાબ તપાસો શોધ એન્જિન(Google અથવા Yandex). તમારા કમ્પ્યુટર કીબોર્ડ પર "^" કીનો ઉપયોગ કરીને, શોધ એન્જિનમાં અભિવ્યક્તિ દાખલ કરો, જે તરત જ સાચો જવાબ પ્રદર્શિત કરશે (અને સંભવતઃ તમને અભ્યાસ કરવા માટે સમાન અભિવ્યક્તિઓ સૂચવશે).

   સરવાળો, બાદબાકી, શક્તિઓનો ગુણાકાર

   1. જો તેમની પાસે સમાન આધાર હોય તો જ તમે ડિગ્રી ઉમેરી અને બાદ કરી શકો છો.જો તમારે સમાન પાયા અને ઘાતાંક સાથે શક્તિઓ ઉમેરવાની જરૂર હોય, તો પછી તમે વધારાની ક્રિયાને ગુણાકારની ક્રિયા સાથે બદલી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિ આપવામાં આવે છે 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). યાદ રાખો કે ડિગ્રી 4 5 (\Displaystyle 4^(5))ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે 1 ∗ 4 5 (\Displaystyle 1*4^(5)); આમ, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(જ્યાં 1 +1 =2). એટલે કે, સમાન ડિગ્રીની સંખ્યા ગણો, અને પછી તે ડિગ્રી અને આ સંખ્યાને ગુણાકાર કરો. અમારા ઉદાહરણમાં, 4 ને પાંચમી ઘાતમાં વધારો, અને પછી પરિણામી પરિણામને 2 વડે ગુણાકાર કરો. યાદ રાખો કે વધારાની ક્રિયાને ગુણાકારની ક્રિયા દ્વારા બદલી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). અહીં અન્ય ઉદાહરણો છે:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. સમાન આધાર સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરતી વખતે, તેમના ઘાતાંક ઉમેરવામાં આવે છે (આધાર બદલાતો નથી).ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિ આપવામાં આવે છે x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). આ કિસ્સામાં, તમારે ફક્ત સૂચકો ઉમેરવાની જરૂર છે, આધારને યથાવત છોડીને. આમ, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). અહીં આ નિયમનું દ્રશ્ય સમજૂતી છે:

      જ્યારે ઘાતને ઘાતમાં વધારતી વખતે, ઘાતાંકનો ગુણાકાર થાય છે.ઉદાહરણ તરીકે, ડિગ્રી આપવામાં આવે છે. ત્યારથી ઘાતનો ગુણાકાર થાય છે, તો પછી (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). આ નિયમનો મુદ્દો એ છે કે તમે શક્તિઓ દ્વારા ગુણાકાર કરી રહ્યા છો (x 2) (\Displaystyle (x^(2)))પોતે પાંચ વખત. આની જેમ:

      • (x 2) 5 (\Displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • આધાર સમાન હોવાથી, ઘાતાંક ફક્ત ઉમેરે છે: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. નકારાત્મક ઘાતાંક સાથેની શક્તિને અપૂર્ણાંક (વિપરીત શક્તિ) માં રૂપાંતરિત કરવી જોઈએ.જો તમને પારસ્પરિક ડિગ્રી શું છે તે ખબર ન હોય તો કોઈ વાંધો નથી. જો તમને નકારાત્મક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી આપવામાં આવે, દા.ત. 3 − 2 (\Displaystyle 3^(-2)), આ ડિગ્રીને અપૂર્ણાંકના છેદમાં લખો (અંશમાં 1 મૂકો), અને ઘાતાંકને હકારાત્મક બનાવો. અમારા ઉદાહરણમાં: 1 3 2 (\Displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). અહીં અન્ય ઉદાહરણો છે:

      સમાન આધાર સાથે ડિગ્રીને વિભાજીત કરતી વખતે, તેમના ઘાતાંક બાદ કરવામાં આવે છે (આધાર બદલાતો નથી).ભાગાકારની ક્રિયા એ ગુણાકારની ક્રિયાની વિરુદ્ધ છે. ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિ આપવામાં આવે છે 4 4 4 2 (\Displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). અંશમાં ઘાતાંકમાંથી છેદમાં ઘાતાંક બાદ કરો (આધાર બદલશો નહીં). આમ, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • છેદમાં શક્તિ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે: 1 4 2 (\Displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\Displaystyle 4^(-2)). યાદ રાખો કે અપૂર્ણાંક એ નકારાત્મક ઘાતાંક સાથેની સંખ્યા (શક્તિ, અભિવ્યક્તિ) છે.

   4. નીચે કેટલાક અભિવ્યક્તિઓ છે જે તમને ઘાતાંક સાથે સમસ્યાઓ કેવી રીતે ઉકેલવી તે શીખવામાં મદદ કરશે.આપેલ અભિવ્યક્તિઓ આ વિભાગમાં પ્રસ્તુત સામગ્રીને આવરી લે છે. જવાબ જોવા માટે, સમાન ચિહ્ન પછી ખાલી જગ્યા પસંદ કરો.

   અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

   અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની શક્તિ (ઉદાહરણ તરીકે, ) રૂટ ઓપરેશનમાં રૂપાંતરિત થાય છે.અમારા ઉદાહરણમાં: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\Displaystyle (\sqrt (x))). અહીં અપૂર્ણાંક ઘાતાંકના છેદમાં કઈ સંખ્યા છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- "x" નું ચોથું મૂળ છે, એટલે કે x 4 (\Displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. જો ઘાતાંક અયોગ્ય અપૂર્ણાંક હોય, તો સમસ્યાના ઉકેલને સરળ બનાવવા માટે ઘાતાંકને બે શક્તિઓમાં વિઘટિત કરી શકાય છે. આમાં કંઈ જટિલ નથી - ફક્ત ગુણાકારની શક્તિનો નિયમ યાદ રાખો. ઉદાહરણ તરીકે, ડિગ્રી આપવામાં આવે છે. આવી શક્તિને એવા મૂળમાં રૂપાંતરિત કરો જેની શક્તિ અપૂર્ણાંક ઘાતાંકના છેદ જેટલી હોય, અને પછી આ મૂળને અપૂર્ણાંક ઘાતાંકના અંશની સમાન ઘાતમાં વધારો. આ કરવા માટે, તે યાદ રાખો = 5 3 (\Displaystyle (\frac (5)(3)))(1 3) ∗ 5 (\Displaystyle ((\frac (1)(3)))*5)

      • . અમારા ઉદાહરણમાં:
      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x))) = x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3)))
   2. (x 3) 5 (\Displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   3. કેટલાક કેલ્ક્યુલેટરમાં ઘાતાંકની ગણતરી કરવા માટે એક બટન હોય છે (તમારે પહેલા આધાર દાખલ કરવો પડશે, પછી બટન દબાવો અને પછી ઘાત દાખલ કરો). તે ^ અથવા x^y તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. યાદ રાખો કે પ્રથમ ઘાતની કોઈપણ સંખ્યા તેના પોતાના સમાન છે, ઉદાહરણ તરીકે, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) તદુપરાંત, કોઈપણ સંખ્યાનો ગુણાકાર અથવા એક વડે ભાગાકાર કરવામાં આવે તે તેના પોતાના સમાન હોય છે, દા.ત.અને 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5).
   4. 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5) જાણો કે પાવર 0 0 અસ્તિત્વમાં નથી (આવી શક્તિનો કોઈ ઉકેલ નથી). જો તમે આવી ડિગ્રીને કેલ્ક્યુલેટર અથવા કમ્પ્યુટર પર ઉકેલવાનો પ્રયાસ કરશો, તો તમને ભૂલ મળશે. પરંતુ યાદ રાખો કે શૂન્ય પાવરની કોઈપણ સંખ્યા 1 છે, ઉદાહરણ તરીકે,
   5. 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.) ઉચ્ચ ગણિતમાં, જે કાલ્પનિક સંખ્યાઓ સાથે કાર્ય કરે છે: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax) , ક્યાં i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt ())-1))

   ; e એ લગભગ 2.7 ની બરાબર છે; a એ મનસ્વી સ્થિરાંક છે. આ સમાનતાનો પુરાવો ઉચ્ચ ગણિતના કોઈપણ પાઠ્યપુસ્તકમાં મળી શકે છે.

   • ચેતવણીઓ