ઓનલાઈન લીટીઓ દ્વારા બંધાયેલ વિસ્તાર શોધો. રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો

અગાઉના વિભાગમાં, ચોક્કસ અવિભાજ્યના ભૌમિતિક અર્થના વિશ્લેષણને સમર્પિત, અમને વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટે સંખ્યાબંધ સૂત્રો પ્રાપ્ત થયા:

Yandex.RTB R-A-339285-1

અંતરાલ [ a ; b],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x સતત અને બિન-ધનાત્મક કાર્ય માટે y = f (x) અંતરાલ પર [ a ; b]

આ સૂત્રો પ્રમાણમાં સરળ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે લાગુ પડે છે. વાસ્તવમાં, આપણે ઘણીવાર વધુ જટિલ આકૃતિઓ સાથે કામ કરવું પડશે. આ સંદર્ભે, અમે આ વિભાગને આકૃતિઓના ક્ષેત્રની ગણતરી માટે અલ્ગોરિધમ્સના વિશ્લેષણ માટે સમર્પિત કરીશું જે સ્પષ્ટ સ્વરૂપમાં કાર્યો દ્વારા મર્યાદિત છે, એટલે કે. જેમ કે y = f(x) અથવા x = g(y).

પ્રમેય

વિધેયો y = f 1 (x) અને y = f 2 (x) ને અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત અને સતત રહેવા દો [ a ; b ] , અને f 1 (x) ≤ f 2 (x) કોઈપણ મૂલ્ય x માટે [ a ; b] પછી આકૃતિ G ના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટેનું સૂત્ર, રેખાઓ દ્વારા મર્યાદિત x = a, x = b, y = f 1 (x) અને y = f 2 (x) નું સ્વરૂપ S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x હશે.

સમાન સૂત્ર y = c, y = d, x = g 1 (y) અને x = g 2 (y) દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળ માટે લાગુ પડશે: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

પુરાવો

ચાલો ત્રણ કિસ્સાઓ જોઈએ જેના માટે સૂત્ર માન્ય રહેશે.

પ્રથમ કિસ્સામાં, વિસ્તારની ઉમેરણની મિલકતને ધ્યાનમાં લેતા, મૂળ આકૃતિ G અને વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડ G1 ના ક્ષેત્રોનો સરવાળો આકૃતિ G2 ના ક્ષેત્રફળ જેટલો છે. આનો અર્થ એ છે કે

તેથી, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) ડીએક્સ

આપણે છેલ્લું સંક્રમણ ચોક્કસ પૂર્ણાંકના ત્રીજા ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને કરી શકીએ છીએ.

બીજા કિસ્સામાં, સમાનતા સાચી છે: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

ગ્રાફિક ચિત્ર આના જેવું દેખાશે:

જો બંને કાર્યો બિન-ધન હોય, તો આપણને મળે છે: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . ગ્રાફિક ચિત્ર આના જેવું દેખાશે:

ચાલો જ્યારે y = f 1 (x) અને y = f 2 (x) O x અક્ષને છેદે ત્યારે સામાન્ય કેસને ધ્યાનમાં લેવા આગળ વધીએ.

આપણે આંતરછેદ બિંદુઓને x i, i = 1, 2, તરીકે દર્શાવીએ છીએ. . . , n - 1 . આ બિંદુઓ સેગમેન્ટને વિભાજિત કરે છે [a; b] n ભાગોમાં x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, જ્યાં α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

આથી,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

અમે ચોક્કસ અવિભાજ્યની પાંચમી ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને છેલ્લું સંક્રમણ કરી શકીએ છીએ.

ચાલો ગ્રાફ પરના સામાન્ય કિસ્સાને સમજાવીએ.

સૂત્ર S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x સાબિત ગણી શકાય.

હવે ચાલો y = f (x) અને x = g (y) રેખાઓ દ્વારા મર્યાદિત હોય તેવા આંકડાઓના ક્ષેત્રફળની ગણતરીના ઉદાહરણોનું વિશ્લેષણ કરવા આગળ વધીએ.

અમે ગ્રાફ બનાવીને કોઈપણ ઉદાહરણોની અમારી વિચારણા શરૂ કરીશું. છબી અમને જટિલ આકૃતિઓને વધુના સંઘ તરીકે રજૂ કરવાની મંજૂરી આપશે સરળ આંકડા. જો તેના પર આલેખ અને આકૃતિઓ બનાવવી તમારા માટે મુશ્કેલ હોય, તો તમે ફંક્શનનો અભ્યાસ કરતી વખતે મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યો, કાર્યોના આલેખનું ભૌમિતિક રૂપાંતરણ તેમજ આલેખ બાંધવાના વિભાગનો અભ્યાસ કરી શકો છો.

ઉદાહરણ 1

આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવું જરૂરી છે, જે પેરાબોલા y = - x 2 + 6 x - 5 અને સીધી રેખાઓ y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 દ્વારા મર્યાદિત છે.

ઉકેલ

ચાલો કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ગ્રાફ પર રેખાઓ દોરીએ.

સેગમેન્ટ પર [ 1 ; 4 ] પેરાબોલા y = - x 2 + 6 x - 5 નો ગ્રાફ સીધી રેખા y = - 1 3 x - 1 2 ની ઉપર સ્થિત છે. આ સંદર્ભમાં, જવાબ મેળવવા માટે અમે અગાઉ મેળવેલા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, તેમજ ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ અવિભાજ્યની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

જવાબ: S(G) = 13

ચાલો એક વધુ જટિલ ઉદાહરણ જોઈએ.

ઉદાહરણ 2

આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવી જરૂરી છે, જે લીટીઓ y = x + 2, y = x, x = 7 દ્વારા મર્યાદિત છે.

ઉકેલ

આ કિસ્સામાં, આપણી પાસે માત્ર એક સીધી રેખા છે જે x-અક્ષની સમાંતર સ્થિત છે. આ x = 7 છે. આ માટે આપણે એકીકરણની બીજી મર્યાદા જાતે શોધવાની જરૂર છે.

ચાલો એક ગ્રાફ બનાવીએ અને તેના પર પ્રોબ્લેમ સ્ટેટમેન્ટમાં આપેલી લીટીઓ બનાવીએ.

આપણી આંખોની સામે આલેખ રાખવાથી, આપણે સરળતાથી નિર્ધારિત કરી શકીએ છીએ કે એકીકરણની નીચલી મર્યાદા સીધી રેખા y = x અને અર્ધ-પેરાબોલા y = x + 2 ના આલેખના આંતરછેદના બિંદુની એબ્સીસા હશે. abscissa શોધવા માટે અમે સમાનતાઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

તે તારણ આપે છે કે આંતરછેદ બિંદુનો એબ્સીસા x = 2 છે.

અમે તમારું ધ્યાન એ હકીકત તરફ દોરીએ છીએ કે ચિત્રમાં સામાન્ય ઉદાહરણમાં, રેખાઓ y = x + 2, y = x બિંદુ (2; 2) પર છેદે છે, તેથી આવી વિગતવાર ગણતરીઓ બિનજરૂરી લાગે છે. અમે આવો વિગતવાર ઉકેલ અહીં આપ્યો છે કારણ કે વધુ મુશ્કેલ કેસોઉકેલ એટલો સ્પષ્ટ ન હોઈ શકે. આનો અર્થ એ છે કે વિશ્લેષણાત્મક રીતે રેખાઓના આંતરછેદના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરવી હંમેશા વધુ સારી છે.

અંતરાલ પર [ 2 ; 7] ફંક્શન y = x નો ગ્રાફ ફંક્શન y = x + 2 ના ગ્રાફની ઉપર સ્થિત છે. ચાલો વિસ્તારની ગણતરી કરવા માટે સૂત્ર લાગુ કરીએ:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

જવાબ: S (G) = 59 6

ઉદાહરણ 3

આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવી જરૂરી છે, જે ફંક્શન y = 1 x અને y = - x 2 + 4 x - 2 ના ગ્રાફ દ્વારા મર્યાદિત છે.

ઉકેલ

ચાલો ગ્રાફ પર લીટીઓનું કાવતરું કરીએ.

ચાલો એકીકરણની મર્યાદા વ્યાખ્યાયિત કરીએ. આ કરવા માટે, અમે 1 x અને - x 2 + 4 x - 2 સમીકરણો દ્વારા રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરીએ છીએ. જો કે x શૂન્ય ન હોય તો, સમાનતા 1 x = - x 2 + 4 x - 2 ત્રીજા ડિગ્રી સમીકરણ - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે સમકક્ષ બને છે. આવા સમીકરણો ઉકેલવા માટે તમારી અલ્ગોરિધમની યાદશક્તિ તાજી કરવા માટે, અમે "ઘન સમીકરણો ઉકેલવા" વિભાગનો સંદર્ભ લઈ શકીએ છીએ.

આ સમીકરણનું મૂળ x = 1 છે: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

અભિવ્યક્તિ - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ને દ્વિપદી x - 1 વડે ભાગતા, આપણને મળે છે: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

આપણે x 2 - 3 x - 1 = 0 સમીકરણમાંથી બાકીના મૂળ શોધી શકીએ છીએ:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

અમને અંતરાલ x ∈ 1 મળ્યો; 3 + 13 2, જેમાં આકૃતિ G વાદળી ઉપર અને લાલ રેખા નીચે સમાયેલ છે. આ અમને આકૃતિનો વિસ્તાર નક્કી કરવામાં મદદ કરે છે:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

જવાબ: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

ઉદાહરણ 4

આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવી જરૂરી છે, જે વણાંકો y = x 3, y = - લોગ 2 x + 1 અને એબ્સીસા અક્ષ દ્વારા મર્યાદિત છે.

ઉકેલ

ચાલો ગ્રાફ પરની બધી રેખાઓનું કાવતરું કરીએ. આપણે ગ્રાફ y = લોગ 2 x માંથી ફંક્શન y = - લોગ 2 x + 1 નો ગ્રાફ મેળવી શકીએ છીએ જો આપણે તેને x-અક્ષ વિશે સમપ્રમાણરીતે સ્થિત કરીએ અને તેને એક એકમ ઉપર લઈ જઈએ. x-અક્ષનું સમીકરણ y = 0 છે.

ચાલો રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુઓને ચિહ્નિત કરીએ.

આકૃતિમાંથી જોઈ શકાય છે તેમ, ફંક્શન્સ y = x 3 અને y = 0 ના આલેખ બિંદુ (0; 0) પર છેદે છે. આવું થાય છે કારણ કે x = 0 એ એકમાત્ર છે વાસ્તવિક મૂળસમીકરણ x 3 = 0 .

x = 2 એ સમીકરણનું એકમાત્ર રુટ છે - લોગ 2 x + 1 = 0, તેથી ફંક્શન્સ y = - log 2 x + 1 અને y = 0 ના આલેખ બિંદુ (2; 0) પર છેદે છે.

x = 1 એ સમીકરણ x 3 = - લોગ 2 x + 1નું એકમાત્ર મૂળ છે. આ સંદર્ભે, વિધેયોના ગ્રાફ્સ y = x 3 અને y = - લોગ 2 x + 1 બિંદુ (1; 1) પર છેદે છે. છેલ્લું વિધાન સ્પષ્ટ ન હોઈ શકે, પરંતુ સમીકરણ x 3 = - લોગ 2 x + 1 માં એક કરતાં વધુ મૂળ હોઈ શકતા નથી, કારણ કે કાર્ય y = x 3 સખત રીતે વધી રહ્યું છે, અને કાર્ય y = - લોગ 2 x + 1 છે સખત રીતે ઘટી રહ્યું છે.

આગળના ઉકેલમાં ઘણા વિકલ્પો શામેલ છે.

વિકલ્પ #1

આપણે આકૃતિ G ને x-અક્ષની ઉપર સ્થિત બે વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડ્સના સરવાળા તરીકે કલ્પી શકીએ છીએ, જેમાંથી પ્રથમ x ∈ 0 સેગમેન્ટ પર મધ્યરેખાની નીચે સ્થિત છે; 1, અને બીજો સેગમેન્ટ x ∈ 1 પર લાલ રેખાની નીચે છે; 2. આનો અર્થ એ છે કે ક્ષેત્રફળ S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x ની બરાબર હશે.

વિકલ્પ નંબર 2

આકૃતિ G ને બે આકૃતિઓના તફાવત તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જેમાંથી પ્રથમ x-અક્ષની ઉપર અને x ∈ 0 સેગમેન્ટ પર વાદળી રેખાની નીચે સ્થિત છે; 2, અને સેગમેન્ટ x ∈ 1 પર લાલ અને વાદળી રેખાઓ વચ્ચેની બીજી; 2. આ અમને નીચે પ્રમાણે વિસ્તાર શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

આ કિસ્સામાં, વિસ્તાર શોધવા માટે તમારે ફોર્મ S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરવો પડશે. હકીકતમાં, રેખાઓ જે આકૃતિને બાંધે છે તે દલીલ y ના કાર્યો તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

ચાલો x ના સંદર્ભમાં y = x 3 અને - log 2 x + 1 સમીકરણો હલ કરીએ:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - લોગ 2 x + 1 ⇒ લોગ 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

અમને જરૂરી વિસ્તાર મળે છે:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

જવાબ: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

ઉદાહરણ 5

આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવી જરૂરી છે, જે લીટીઓ y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 દ્વારા મર્યાદિત છે.

ઉકેલ

લાલ રેખા સાથે આપણે ફંક્શન y = x દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખાને પ્લોટ કરીએ છીએ. અમે રેખા y = - 1 2 x + 4 વાદળી રંગમાં દોરીએ છીએ, અને રેખા y = 2 3 x - 3 કાળા રંગમાં દોરીએ છીએ.

ચાલો આંતરછેદ બિંદુઓને ચિહ્નિત કરીએ.

ચાલો ફંક્શન y = x અને y = - 1 2 x + 4 ના ગ્રાફના આંતરછેદ બિંદુઓ શોધીએ:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 તપાસો: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 નથી એ સમીકરણ x 2 = નો ઉકેલ છે. 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 એ સમીકરણનો ઉકેલ છે ⇒ (4; 2) આંતરછેદ બિંદુ i y = x અને y = - 1 2 x + 4

ચાલો ફંક્શન y = x અને y = 2 3 x - 3 ના આલેખના આંતરછેદ બિંદુને શોધીએ:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 તપાસો: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 એ સમીકરણનો ઉકેલ છે ⇒ (9; 3) બિંદુ a s y = x અને y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી

ચાલો y = - 1 2 x + 4 અને y = 2 3 x - 3 રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુને શોધીએ:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) આંતરછેદ બિંદુ y = - 1 2 x + 4 અને y = 2 3 x - 3

પદ્ધતિ નંબર 1

ચાલો વ્યક્તિગત આકૃતિઓના ક્ષેત્રોના સરવાળા તરીકે ઇચ્છિત આકૃતિના ક્ષેત્રની કલ્પના કરીએ.

પછી આકૃતિનો વિસ્તાર છે:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

પદ્ધતિ નંબર 2

મૂળ આકૃતિના ક્ષેત્રફળને અન્ય બે આકૃતિઓના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

પછી આપણે x ની સાપેક્ષ રેખાના સમીકરણને હલ કરીએ છીએ, અને તે પછી જ આપણે આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટે સૂત્ર લાગુ કરીએ છીએ.

y = x ⇒ x = y 2 લાલ રેખા y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 કાળી રેખા y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

તેથી વિસ્તાર છે:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

જેમ તમે જોઈ શકો છો, મૂલ્યો સમાન છે.

જવાબ: S (G) = 11 3

પરિણામો

આપેલ રેખાઓ દ્વારા મર્યાદિત હોય તેવા આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, આપણે પ્લેન પર રેખાઓ બાંધવી, તેમના આંતરછેદ બિંદુઓ શોધવા અને ક્ષેત્ર શોધવા માટે સૂત્ર લાગુ કરવાની જરૂર છે. આ વિભાગમાં, અમે કાર્યોના સૌથી સામાન્ય પ્રકારોની તપાસ કરી.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

આ લેખમાં તમે શીખી શકશો કે અભિન્ન ગણતરીઓનો ઉપયોગ કરીને રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો. હાઈસ્કૂલમાં આવી સમસ્યાની રચનાનો પ્રથમ વખત આપણે સામનો કરીએ છીએ, જ્યારે આપણે હમણાં જ ચોક્કસ પૂર્ણાંકોનો અભ્યાસ પૂર્ણ કર્યો છે અને વ્યવહારમાં પ્રાપ્ત જ્ઞાનનું ભૌમિતિક અર્થઘટન શરૂ કરવાનો સમય છે.

તેથી, પૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિના ક્ષેત્રને શોધવાની સમસ્યાને સફળતાપૂર્વક હલ કરવા માટે શું જરૂરી છે:

સક્ષમ રેખાંકનો બનાવવાની ક્ષમતા;
જાણીતા ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ અભિન્ન ઉકેલની ક્ષમતા;
વધુ નફાકારક ઉકેલ વિકલ્પ "જોવા" કરવાની ક્ષમતા - એટલે કે. સમજો છો કે એક અથવા બીજા કિસ્સામાં એકીકરણ હાથ ધરવા માટે તે કેવી રીતે વધુ અનુકૂળ રહેશે? એક્સ-અક્ષ (OX) અથવા y-અક્ષ (OY) સાથે?
ઠીક છે, સાચી ગણતરીઓ વિના આપણે ક્યાં હોઈશું?) આમાં તે અન્ય પ્રકારના પૂર્ણાંકો અને સાચી સંખ્યાત્મક ગણતરીઓને કેવી રીતે હલ કરવી તે સમજવાનો સમાવેશ થાય છે.

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરીની સમસ્યાને ઉકેલવા માટેનું અલ્ગોરિધમ:

1. અમે એક ડ્રોઇંગ બનાવી રહ્યા છીએ. મોટા પાયે કાગળના ચેકર્ડ ટુકડા પર આ કરવાનું સલાહ આપવામાં આવે છે. અમે દરેક ગ્રાફ ઉપર પેન્સિલ વડે આ ફંક્શનના નામ પર સહી કરીએ છીએ. આલેખ પર સહી કરવી એ ફક્ત આગળની ગણતરીઓની સુવિધા માટે કરવામાં આવે છે. ઇચ્છિત આકૃતિનો ગ્રાફ પ્રાપ્ત કર્યા પછી, મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં તે તરત જ સ્પષ્ટ થઈ જશે કે એકીકરણની કઈ મર્યાદાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે. આમ, અમે ગ્રાફિકલી સમસ્યા હલ કરીએ છીએ. જો કે, એવું બને છે કે મર્યાદાના મૂલ્યો અપૂર્ણાંક અથવા અતાર્કિક છે. તેથી, તમે વધારાની ગણતરીઓ કરી શકો છો, બીજા પગલા પર જાઓ.

2. જો એકીકરણની મર્યાદા સ્પષ્ટ રીતે ઉલ્લેખિત ન હોય, તો પછી આપણે એકબીજા સાથે આલેખના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધીએ છીએ અને જોશું કે આપણું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન વિશ્લેષણાત્મક સાથે મેળ ખાય છે કે કેમ.

3. આગળ, તમારે ડ્રોઇંગનું વિશ્લેષણ કરવાની જરૂર છે. ફંક્શન ગ્રાફ કેવી રીતે ગોઠવાય છે તેના આધારે, આકૃતિનો વિસ્તાર શોધવા માટે વિવિધ અભિગમો છે. ચાલો ઇન્ટિગ્રલ્સનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ શોધવાના વિવિધ ઉદાહરણો જોઈએ.

3.1. જ્યારે તમારે વક્ર ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર શોધવાની જરૂર હોય ત્યારે સમસ્યાનું સૌથી ક્લાસિક અને સરળ સંસ્કરણ છે. વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ શું છે? આ એક્સ-અક્ષ દ્વારા મર્યાદિત સપાટ આકૃતિ છે (y = 0), સીધા x = a, x = bઅને થી અંતરાલ પર સતત કોઈપણ વળાંક aથી b. વધુમાં, આ આંકડો બિન-નકારાત્મક છે અને તે x-અક્ષની નીચે સ્થિત નથી. આ કિસ્સામાં, વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર સંખ્યાત્મક રીતે ચોક્કસ અવિભાજ્ય સમાન છે, જે ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:

ઉદાહરણ 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

આકૃતિ કઈ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ છે? અમારી પાસે પેરાબોલા છે y = x2 – 3x + 3, જે ધરીની ઉપર સ્થિત છે ઓહ, તે બિન-નકારાત્મક છે, કારણ કે આ પેરાબોલાના તમામ બિંદુઓ છે હકારાત્મક મૂલ્યો. આગળ, સીધી રેખાઓ આપવામાં આવે છે x = 1અને x = 3, જે ધરીની સમાંતર ચાલે છે ઓપ-એમ્પ, ડાબી અને જમણી બાજુની આકૃતિની સીમા રેખાઓ છે. વેલ y = 0, તે x-અક્ષ પણ છે, જે નીચેથી આકૃતિને મર્યાદિત કરે છે. પરિણામી આકૃતિ શેડમાં છે, જેમ કે ડાબી બાજુની આકૃતિમાંથી જોઈ શકાય છે. આ કિસ્સામાં, તમે તરત જ સમસ્યા હલ કરવાનું શરૂ કરી શકો છો. આપણી સમક્ષ વક્ર ટ્રેપેઝોઇડનું એક સરળ ઉદાહરણ છે, જેને આપણે પછી ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને હલ કરીએ છીએ.

3.2. અગાઉના ફકરા 3.1 માં, અમે કેસની તપાસ કરી જ્યારે વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ x-અક્ષની ઉપર સ્થિત છે. હવે જ્યારે સમસ્યાની સ્થિતિ સમાન હોય ત્યારે કેસને ધ્યાનમાં લો, સિવાય કે કાર્ય x-અક્ષ હેઠળ આવેલું છે. પ્રમાણભૂત ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્રમાં એક બાદબાકી ઉમેરવામાં આવે છે. આવી સમસ્યાને કેવી રીતે હલ કરવી તે અમે નીચે વિચારણા કરીશું.

ઉદાહરણ 2 . રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

IN આ ઉદાહરણમાંઅમારી પાસે પેરાબોલા છે y = x2 + 6x + 2, જે ધરીમાંથી ઉદ્દભવે છે ઓહ, સીધા x = -4, x = -1, y = 0. અહીં y = 0ઉપરથી ઇચ્છિત આકૃતિને મર્યાદિત કરે છે. પ્રત્યક્ષ x = -4અને x = -1આ તે સીમાઓ છે જેની અંદર ચોક્કસ અભિન્નની ગણતરી કરવામાં આવશે. આકૃતિનો વિસ્તાર શોધવાની સમસ્યાને ઉકેલવાનો સિદ્ધાંત લગભગ સંપૂર્ણ રીતે ઉદાહરણ નંબર 1 સાથે સુસંગત છે. માત્ર એટલો જ તફાવત છે કે આપેલ કાર્યહકારાત્મક નથી, અને અંતરાલ પર હજુ પણ ચાલુ છે [-4; -1] . તમારો મતલબ શું સકારાત્મક નથી? આકૃતિમાંથી જોઈ શકાય છે તેમ, આપેલ x ની અંદર આવેલ આકૃતિ ફક્ત "નકારાત્મક" કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે, જે સમસ્યાને ઉકેલતી વખતે આપણે જોવાની અને યાદ રાખવાની જરૂર છે. અમે ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિનો વિસ્તાર શોધીએ છીએ, ફક્ત શરૂઆતમાં ઓછા ચિહ્ન સાથે.

લેખ પૂરો થયો નથી.

કાર્ય નંબર 3. રેખાંકન બનાવો અને રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો

લાગુ સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે અભિન્નતાનો ઉપયોગ

વિસ્તારની ગણતરી

સતત બિન-નકારાત્મક કાર્ય f(x) નું ચોક્કસ પૂર્ણાંક સંખ્યાત્મક રીતે બરાબર છેવળાંક y = f(x), O x અક્ષ અને સીધી રેખાઓ x = a અને x = b દ્વારા બંધાયેલ વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર. આને અનુરૂપ, વિસ્તાર સૂત્ર નીચે મુજબ લખાયેલ છે:

ચાલો પ્લેન આકૃતિઓના ક્ષેત્રોની ગણતરીના કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ.

કાર્ય નંબર 1. રેખાઓ y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 દ્વારા બંધાયેલા વિસ્તારની ગણતરી કરો.

ઉકેલ.ચાલો એક આકૃતિ બનાવીએ જેના વિસ્તારની આપણે ગણતરી કરવી પડશે.

y = x 2 + 1 એ એક પેરાબોલા છે જેની શાખાઓ ઉપર તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે, અને પેરાબોલાને એક એકમ દ્વારા O y અક્ષની સાપેક્ષમાં ઉપર તરફ ખસેડવામાં આવે છે (આકૃતિ 1).

આકૃતિ 1. કાર્ય y = x 2 + 1 નો આલેખ

કાર્ય નંબર 2. 0 થી 1 ની રેન્જમાં y = x 2 – 1, y = 0 રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલા વિસ્તારની ગણતરી કરો.

ઉકેલ.આ ફંક્શનનો આલેખ એ શાખાઓનો પેરાબોલા છે જે ઉપર તરફ નિર્દેશિત થાય છે, અને પેરાબોલાને O y અક્ષની સાપેક્ષમાં એક એકમ દ્વારા નીચે તરફ ખસેડવામાં આવે છે (આકૃતિ 2).

આકૃતિ 2. કાર્ય y = x 2 – 1 નો આલેખ

કાર્ય નંબર 3. રેખાંકન બનાવો અને રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો

y = 8 + 2x – x 2 અને y = 2x – 4.

ઉકેલ.આ બે લીટીઓમાંથી પ્રથમ પેરાબોલા છે જેની શાખાઓ નીચે તરફ નિર્દેશિત છે, કારણ કે x 2 નો ગુણાંક ઋણ છે, અને બીજી રેખા એ બંને સંકલન અક્ષોને છેદતી સીધી રેખા છે.

પેરાબોલાને બાંધવા માટે, આપણે તેના શિરોબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ છીએ: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – શિરોબિંદુનો એબ્સીસા; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 એ તેનું ઓર્ડિનેટ છે, N(1;9) શિરોબિંદુ છે.

ચાલો હવે સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીને પેરાબોલાના આંતરછેદ બિંદુઓ અને સીધી રેખા શોધીએ:

જે સમીકરણની ડાબી બાજુઓ સમાન હોય તેની જમણી બાજુઓનું સમીકરણ.

આપણને મળે છે 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 અથવા x 2 – 12 = 0, ક્યાંથી .

તેથી, પોઈન્ટ એ પેરાબોલાના આંતરછેદ બિંદુઓ અને સીધી રેખા છે (આકૃતિ 1).

આકૃતિ 3 ફંક્શનનો આલેખ y = 8 + 2x – x 2 અને y = 2x – 4

ચાલો સીધી રેખા y = 2x – 4 બનાવીએ. તે સંકલન અક્ષો પરના બિંદુઓ (0;-4), (2;0)માંથી પસાર થાય છે.

પેરાબોલા બનાવવા માટે, તમે 0x અક્ષ સાથે તેના આંતરછેદ બિંદુઓનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો, એટલે કે, સમીકરણ 8 + 2x – x 2 = 0 અથવા x 2 – 2x – 8 = 0. વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, તે સરળ છે. તેના મૂળ શોધવા માટે: x 1 = 2, x 2 = 4.

આકૃતિ 3 આ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિ (પેરાબોલિક સેગમેન્ટ M 1 N M 2) દર્શાવે છે.

સમસ્યાનો બીજો ભાગ આ આકૃતિનો વિસ્તાર શોધવાનો છે. તેનું ક્ષેત્રફળ સૂત્ર અનુસાર ચોક્કસ પૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે .

આ સ્થિતિના સંબંધમાં, અમે અભિન્નતા મેળવીએ છીએ:

2 ક્રાંતિના શરીરના જથ્થાની ગણતરી

O x અક્ષની ફરતે વળાંક y = f(x) ના પરિભ્રમણમાંથી મેળવેલ શરીરના જથ્થાની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે:

જ્યારે O y અક્ષની આસપાસ ફરે છે, ત્યારે સૂત્ર આના જેવું દેખાય છે:

કાર્ય નંબર 4. O x અક્ષની ફરતે સીધી રેખાઓ x = 0 x = 3 અને વળાંક y = દ્વારા બંધાયેલ વક્ર ટ્રેપેઝોઇડના પરિભ્રમણમાંથી મેળવેલ શરીરનું પ્રમાણ નક્કી કરો.

ઉકેલ.ચાલો એક ચિત્ર દોરીએ (આકૃતિ 4).

આકૃતિ 4. ફંક્શન y = નો ગ્રાફ

જરૂરી વોલ્યુમ છે

કાર્ય નંબર 5. O y અક્ષની ફરતે વળાંક y = x 2 અને સીધી રેખાઓ y = 0 અને y = 4 દ્વારા બંધાયેલ વક્ર ટ્રેપેઝોઇડના પરિભ્રમણમાંથી મેળવેલા શરીરના વોલ્યુમની ગણતરી કરો.

ઉકેલ.અમારી પાસે છે:

પ્રશ્નોની સમીક્ષા કરો

સક્ષમ રેખાંકનો બનાવવાની ક્ષમતા;
જાણીતા ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ અભિન્ન ઉકેલની ક્ષમતા;
વધુ નફાકારક ઉકેલ વિકલ્પ "જોવા" કરવાની ક્ષમતા - એટલે કે. સમજો છો કે એક અથવા બીજા કિસ્સામાં એકીકરણ હાથ ધરવા માટે તે કેવી રીતે વધુ અનુકૂળ રહેશે? એક્સ-અક્ષ (OX) અથવા y-અક્ષ (OY) સાથે?
ઠીક છે, સાચી ગણતરીઓ વિના આપણે ક્યાં હોઈશું?) આમાં તે અન્ય પ્રકારના પૂર્ણાંકો અને સાચી સંખ્યાત્મક ગણતરીઓને કેવી રીતે હલ કરવી તે સમજવાનો સમાવેશ થાય છે.

ઉદાહરણ 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

આકૃતિ કઈ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ છે? અમારી પાસે પેરાબોલા છે y = x2 – 3x + 3, જે ધરીની ઉપર સ્થિત છે ઓહ, તે બિન-નકારાત્મક છે, કારણ કે આ પેરાબોલાના તમામ બિંદુઓ હકારાત્મક મૂલ્યો ધરાવે છે. આગળ, સીધી રેખાઓ આપવામાં આવે છે x = 1અને x = 3, જે ધરીની સમાંતર ચાલે છે ઓપ-એમ્પ, ડાબી અને જમણી બાજુની આકૃતિની સીમા રેખાઓ છે. વેલ y = 0, તે x-અક્ષ પણ છે, જે નીચેથી આકૃતિને મર્યાદિત કરે છે. પરિણામી આકૃતિ શેડમાં છે, જેમ કે ડાબી બાજુની આકૃતિમાંથી જોઈ શકાય છે. આ કિસ્સામાં, તમે તરત જ સમસ્યા હલ કરવાનું શરૂ કરી શકો છો. આપણી સમક્ષ વક્ર ટ્રેપેઝોઇડનું એક સરળ ઉદાહરણ છે, જેને આપણે પછી ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને હલ કરીએ છીએ.

આ ઉદાહરણમાં આપણી પાસે પેરાબોલા છે y = x2 + 6x + 2, જે ધરીમાંથી ઉદ્દભવે છે ઓહ, સીધા x = -4, x = -1, y = 0. અહીં y = 0ઉપરથી ઇચ્છિત આકૃતિને મર્યાદિત કરે છે. પ્રત્યક્ષ x = -4અને x = -1આ તે સીમાઓ છે જેની અંદર ચોક્કસ અભિન્નની ગણતરી કરવામાં આવશે. આકૃતિનો વિસ્તાર શોધવાની સમસ્યાને ઉકેલવાનો સિદ્ધાંત લગભગ સંપૂર્ણ રીતે ઉદાહરણ નંબર 1 સાથે સુસંગત છે. માત્ર એટલો જ તફાવત એ છે કે આપેલ કાર્ય હકારાત્મક નથી, અને તે અંતરાલ પર પણ સતત છે. [-4; -1] . તમારો મતલબ શું સકારાત્મક નથી? આકૃતિમાંથી જોઈ શકાય છે તેમ, આપેલ x ની અંદર આવેલ આકૃતિ ફક્ત "નકારાત્મક" કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે, જે સમસ્યાને ઉકેલતી વખતે આપણે જોવાની અને યાદ રાખવાની જરૂર છે. અમે ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આકૃતિનો વિસ્તાર શોધીએ છીએ, ફક્ત શરૂઆતમાં ઓછા ચિહ્ન સાથે.

લેખ પૂરો થયો નથી.

સમસ્યા 1(વક્ર ટ્રેપેઝોઇડના વિસ્તારની ગણતરી વિશે).

કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ xOy માં, એક આકૃતિ આપવામાં આવે છે (આકૃતિ જુઓ) x અક્ષ, સીધી રેખાઓ x = a, x = b (એક વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ. વક્ર ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે તે જરૂરી છે.
ઉકેલ.ભૂમિતિ આપણને બહુકોણના વિસ્તારો અને વર્તુળના કેટલાક ભાગો (સેક્ટર, સેગમેન્ટ)ની ગણતરી માટે વાનગીઓ આપે છે. ભૌમિતિક વિચારણાઓનો ઉપયોગ કરીને, અમે ફક્ત જરૂરી વિસ્તારનું અંદાજિત મૂલ્ય શોધી શકીએ છીએ, નીચે પ્રમાણે તર્ક.

ચાલો સેગમેન્ટને વિભાજિત કરીએ [a; b] (વક્ર ટ્રેપેઝોઇડનો આધાર) n પર સમાન ભાગો; આ પાર્ટીશન પોઈન્ટ x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 નો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે. ચાલો y-અક્ષની સમાંતર આ બિંદુઓ દ્વારા સીધી રેખાઓ દોરીએ. પછી આપેલ વળાંકવાળા ટ્રેપેઝોઇડને n ભાગોમાં, n સાંકડા કૉલમમાં વિભાજિત કરવામાં આવશે. સમગ્ર ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર સ્તંભોના વિસ્તારોના સરવાળા જેટલો છે.

ચાલો k-th કૉલમને અલગથી ધ્યાનમાં લઈએ, એટલે કે. વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ જેનો આધાર એક સેગમેન્ટ છે. ચાલો તેને f(x k) સમાન આધાર અને ઊંચાઈ સાથે લંબચોરસથી બદલીએ (આકૃતિ જુઓ). લંબચોરસનો વિસ્તાર $f(x_k) \cdot \Delta x_k \ ની બરાબર છે, જ્યાં \(\Delta x_k $ એ સેગમેન્ટની લંબાઈ છે; પરિણામી ઉત્પાદનને kth કૉલમના ક્ષેત્રફળના અંદાજિત મૂલ્ય તરીકે ધ્યાનમાં લેવું સ્વાભાવિક છે.

જો આપણે હવે અન્ય તમામ સ્તંભો સાથે તે જ કરીએ, તો આપણે નીચેના પરિણામ પર આવીશું: આપેલ વળાંકવાળા ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર S લગભગ n લંબચોરસથી બનેલી સ્ટેપવાળી આકૃતિના ક્ષેત્ર S n જેટલો છે (આકૃતિ જુઓ):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
અહીં, સંકેતની એકરૂપતા ખાતર, આપણે ધારીએ છીએ કે a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - સેગમેન્ટની લંબાઈ, $\Delta x_1 $ - સેગમેન્ટની લંબાઈ, વગેરે; આ કિસ્સામાં, જેમ આપણે ઉપર સંમત થયા છીએ, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

તેથી, $S \અંદાજે S_n $, અને આ અંદાજિત સમાનતા વધુ સચોટ છે, જેટલી મોટી n.
વ્યાખ્યા દ્વારા, એવું માનવામાં આવે છે કે વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડનો આવશ્યક વિસ્તાર ક્રમ (S n) ની મર્યાદા સમાન છે:
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

સમસ્યા 2(બિંદુ ખસેડવા વિશે)
ભૌતિક બિંદુ સીધી રેખામાં ફરે છે. સમય પર ઝડપની અવલંબન ફોર્મ્યુલા v = v(t) દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. સમયના સમયગાળામાં બિંદુની હિલચાલ શોધો [a; b].
ઉકેલ.જો ચળવળ એકસમાન હોત, તો સમસ્યા ખૂબ જ સરળ રીતે હલ થઈ જશે: s = vt, એટલે કે. s = v(b-a). અસમાન ચળવળ માટે, તમારે તે જ વિચારોનો ઉપયોગ કરવો પડશે જેના પર અગાઉની સમસ્યાનો ઉકેલ આધારિત હતો.
1) સમય અંતરાલ વિભાજીત કરો [a; b] n સમાન ભાગોમાં.
2) સમયના સમયગાળાને ધ્યાનમાં લો અને ધારો કે સમયના આ સમયગાળા દરમિયાન ઝડપ સ્થિર હતી, જે tk સમયે હતી. તેથી આપણે ધારીએ છીએ કે v = v(t k).
3) ચાલો સમયના સમયગાળામાં બિંદુની હિલચાલનું અંદાજિત મૂલ્ય શોધીએ; અમે આ અંદાજિત મૂલ્યને s k તરીકે દર્શાવીશું
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) વિસ્થાપન s નું અંદાજિત મૂલ્ય શોધો:
$ઓ \ આશરે S_n $ જ્યાં
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) જરૂરી વિસ્થાપન ક્રમ (S n) ની મર્યાદાની બરાબર છે:
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

ચાલો સારાંશ આપીએ. ઉકેલો વિવિધ કાર્યોસમાન ગાણિતિક મોડેલમાં ઘટાડો. વિજ્ઞાન અને ટેકનોલોજીના વિવિધ ક્ષેત્રોની ઘણી સમસ્યાઓ ઉકેલની પ્રક્રિયામાં સમાન મોડેલ તરફ દોરી જાય છે. આનો અર્થ એ છે કે આ ગાણિતિક મોડેલનો વિશેષ અભ્યાસ કરવો આવશ્યક છે.

ચોક્કસ અભિન્નતાનો ખ્યાલ

ચાલો આપણે મોડલનું ગાણિતિક વર્ણન આપીએ જે વિધેય y = f(x) માટે ત્રણ ગણવામાં આવેલ સમસ્યાઓમાં બનેલ છે, સતત (પરંતુ બિન-નકારાત્મક નથી, જેમ કે માનવામાં આવેલ સમસ્યાઓમાં ધારવામાં આવ્યું હતું) અંતરાલ [a; b]:
1) સેગમેન્ટને વિભાજિત કરો [a; b] n સમાન ભાગોમાં;
2) સરવાળો કરો $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$ ની ગણતરી કરો

ગાણિતિક પૃથ્થકરણ દરમિયાન તે સાબિત થયું હતું કે આ મર્યાદા સતત (અથવા ટુકડા પ્રમાણે સતત) કાર્યના કિસ્સામાં અસ્તિત્વમાં છે. તેઓ તેને બોલાવે છે વિધેયનું ચોક્કસ અભિન્ન અંગ y = f(x) ખંડ [a; b]અને નીચે મુજબ સૂચિત:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
સંખ્યાઓ a અને b ને એકીકરણની મર્યાદા કહેવામાં આવે છે (અનુક્રમે નીચલા અને ઉપલા).

ચાલો ઉપર ચર્ચા કરેલ કાર્યો પર પાછા ફરીએ. સમસ્યા 1 માં આપેલ વિસ્તારની વ્યાખ્યા હવે નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
અહીં S એ ઉપરની આકૃતિમાં બતાવેલ વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર છે. આ છે ચોક્કસ અભિન્નનો ભૌમિતિક અર્થ.

સમસ્યા 2 માં આપેલ t = a થી t = b સુધીના સમયગાળામાં v = v(t) ઝડપ સાથે સીધી રેખામાં આગળ વધતા બિંદુના વિસ્થાપન s ની વ્યાખ્યા, નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:

ન્યુટન - લીબનીઝ સૂત્ર

પ્રથમ, ચાલો પ્રશ્નનો જવાબ આપીએ: ચોક્કસ અભિન્ન અને એન્ટિડેરિવેટિવ વચ્ચેનું જોડાણ શું છે?

જવાબ સમસ્યા 2 માં મળી શકે છે. એક તરફ, t = a થી t = b સુધીના સમયગાળામાં v = v(t) ઝડપ સાથે સીધી રેખામાં આગળ વધતા બિંદુના વિસ્થાપન s ની ગણતરી દ્વારા કરવામાં આવે છે. સૂત્ર
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

બીજી તરફ, મૂવિંગ પોઈન્ટનું સંકલન એ ઝડપ માટે એન્ટિડેરિવેટિવ છે - ચાલો તેને s(t) દર્શાવીએ; આનો અર્થ એ છે કે વિસ્થાપન s એ સૂત્ર s = s(b) - s(a) દ્વારા વ્યક્ત થાય છે. પરિણામે આપણને મળે છે:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
જ્યાં s(t) એ v(t) નું એન્ટિડેરિવેટિવ છે.

નીચેનું પ્રમેય ગાણિતિક વિશ્લેષણ દરમિયાન સાબિત થયું હતું.
પ્રમેય. જો ફંક્શન y = f(x) અંતરાલ પર સતત છે [a; b], પછી સૂત્ર માન્ય છે
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
જ્યાં F(x) એ f(x) નું એન્ટિડેરિવેટિવ છે.

આપેલ સૂત્રને સામાન્ય રીતે કહેવામાં આવે છે ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રઅંગ્રેજ ભૌતિકશાસ્ત્રી આઇઝેક ન્યુટન (1643-1727) અને જર્મન ફિલસૂફ ગોટફ્રાઇડ લીબનીઝ (1646-1716) ના સન્માનમાં, જેમણે તેને એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે અને લગભગ એક સાથે પ્રાપ્ત કર્યું હતું.

વ્યવહારમાં, F(b) - F(a) લખવાને બદલે, તેઓ સંકેતનો ઉપયોગ કરે છે $\left. F(x)\right|_a^b $ (તેને ક્યારેક કહેવામાં આવે છે. ડબલ અવેજી) અને, તે મુજબ, ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રને આ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખો:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

ચોક્કસ અવિભાજ્યની ગણતરી કરતી વખતે, પ્રથમ એન્ટિડેરિવેટિવ શોધો, અને પછી ડબલ અવેજીકરણ કરો.

ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્રના આધારે, આપણે ચોક્કસ અવિભાજ્યના બે ગુણધર્મો મેળવી શકીએ છીએ.

મિલકત 1.વિધેયોના સરવાળાનું અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકોના સરવાળા જેટલું છે:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

મિલકત 2.સ્થિર પરિબળને અભિન્ન ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને પ્લેન આકૃતિઓના ક્ષેત્રોની ગણતરી

ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને, તમે માત્ર વળાંકવાળા ટ્રેપેઝોઇડ્સના ક્ષેત્રોની ગણતરી કરી શકો છો, પરંતુ વધુ જટિલ પ્રકારના પ્લેન આકૃતિઓની પણ ગણતરી કરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, આકૃતિમાં બતાવેલ એક. આકૃતિ P સીધી રેખાઓ દ્વારા મર્યાદિત છે x = a, x = b અને સતત કાર્યોના ગ્રાફ્સ y = f(x), y = g(x), અને સેગમેન્ટ [a; b] અસમાનતા $g(x) \leq f(x) $ ધરાવે છે. આવી આકૃતિના ક્ષેત્ર S ની ગણતરી કરવા માટે, અમે નીચે મુજબ આગળ વધીશું:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

તેથી, આકૃતિનો વિસ્તાર S એ સીધી રેખાઓ x = a, x = b અને વિધેયોના આલેખ y = f(x), y = g(x), સેગમેન્ટ પર સતત અને જેમ કે સેગમેન્ટમાંથી કોઈપણ x માટે [a; b] અસમાનતા $g(x) \leq f(x) $ સંતુષ્ટ છે, સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

કેટલાક કાર્યોના અનિશ્ચિત ઇન્ટિગ્રલ (એન્ટીડેરિવેટિવ્ઝ) નું કોષ્ટક

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$