સમાન આધાર સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરવા માટેનું સૂત્ર. ડિગ્રી અને તેના ગુણધર્મો

દરેક અંકગણિત કામગીરી ક્યારેક લખવા માટે ખૂબ જ બોજારૂપ બની જાય છે અને તેઓ તેને સરળ બનાવવાનો પ્રયાસ કરે છે. આ એક વખત ઉમેરણ કામગીરી સાથે કેસ હતો. લોકોને એક જ પ્રકારનો વારંવાર ઉમેરો કરવાની જરૂર હતી, ઉદાહરણ તરીકે, સો પર્શિયન કાર્પેટની કિંમતની ગણતરી કરવા માટે, જેની કિંમત દરેક માટે 3 સોનાના સિક્કા છે. 3+3+3+…+3 = 300. તેના બોજારૂપ સ્વભાવને કારણે, નોટેશનને 3 * 100 = 300 સુધી ટૂંકાવી દેવાનો નિર્ણય લેવામાં આવ્યો હતો. વાસ્તવમાં, નોટેશન "ત્રણ વખત એકસો" નો અર્થ છે કે તમારે એક લેવાની જરૂર છે. સો ત્રણ અને તેમને એકસાથે ઉમેરો. ગુણાકાર પકડાયો અને સામાન્ય લોકપ્રિયતા મેળવી. પરંતુ વિશ્વ સ્થિર નથી, અને મધ્ય યુગમાં સમાન પ્રકારના પુનરાવર્તિત ગુણાકારની જરૂરિયાત ઊભી થઈ. મને એક ઋષિ વિશેનો એક જૂનો ભારતીય કોયડો યાદ છે જેમણે કરેલા કામના પુરસ્કાર તરીકે નીચેની માત્રામાં ઘઉંના દાણા માંગ્યા: ચેસબોર્ડના પ્રથમ ચોરસ માટે તેણે એક અનાજ માંગ્યું, બીજા માટે - બે, ત્રીજા માટે - ચાર, પાંચમા માટે - આઠ, અને તેથી વધુ. આ રીતે શક્તિઓનો પ્રથમ ગુણાકાર દેખાયો, કારણ કે અનાજની સંખ્યા સેલ નંબરની શક્તિના બે જેટલી હતી. ઉદાહરણ તરીકે, છેલ્લા કોષ પર 2*2*2*...*2 = 2^63 દાણા હશે, જે 18 અક્ષરોની લાંબી સંખ્યાની બરાબર છે, જે હકીકતમાં, કોયડાનો અર્થ છે.

ઘાતાંકની કામગીરી ખૂબ જ ઝડપથી થઈ ગઈ, અને શક્તિઓના સરવાળા, બાદબાકી, ભાગાકાર અને ગુણાકાર કરવાની જરૂરિયાત પણ ઝડપથી ઊભી થઈ. બાદમાં વધુ વિગતવાર ધ્યાનમાં લેવા યોગ્ય છે. સત્તા ઉમેરવા માટેના સૂત્રો સરળ અને યાદ રાખવામાં સરળ છે. વધુમાં, જો પાવર ઓપરેશનને ગુણાકાર દ્વારા બદલવામાં આવે તો તેઓ ક્યાંથી આવે છે તે સમજવું ખૂબ જ સરળ છે. પરંતુ પ્રથમ તમારે કેટલીક મૂળભૂત પરિભાષા સમજવાની જરૂર છે. a^b અભિવ્યક્તિ ("a ને "b ની ઘાત" માટે વાંચો) નો અર્થ એ છે કે સંખ્યા a ને પોતે જ b વખત ગુણાકાર કરવો જોઈએ, જેમાં "a" ને શક્તિનો આધાર કહેવામાં આવે છે, અને "b" ઘાત ઘાતક કહેવાય છે. જો ડિગ્રીના પાયા સમાન હોય, તો સૂત્રો એકદમ સરળ રીતે લેવામાં આવે છે. વિશિષ્ટ ઉદાહરણ: અભિવ્યક્તિ 2^3 * 2^4 ની કિંમત શોધો. શું થવું જોઈએ તે જાણવા માટે, તમારે ઉકેલ શરૂ કરતા પહેલા કમ્પ્યુટર પર જવાબ શોધવો જોઈએ. સ્કોરિંગ આ અભિવ્યક્તિકોઈપણ ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટર, સર્ચ એન્જિનમાં, "વિવિધ પાયા અને સમાન સાથેની શક્તિઓનો ગુણાકાર" અથવા ગાણિતિક પેકેજ ટાઈપ કરીને, આઉટપુટ 128 થશે. હવે ચાલો આ અભિવ્યક્તિ લખીએ: 2^3 = 2*2*2, અને 2 ^4 = 2*2*2*2. તે તારણ આપે છે કે 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . તે તારણ આપે છે કે સાથે શક્તિઓનું ઉત્પાદન સમાન આધારઅગાઉની બે શક્તિઓના સરવાળાની સમાન શક્તિમાં ઊભા કરાયેલા આધારની બરાબર.

તમે વિચારી શકો છો કે આ એક અકસ્માત છે, પરંતુ ના: અન્ય કોઈપણ ઉદાહરણ ફક્ત આ નિયમની પુષ્ટિ કરી શકે છે. આમ, માં સામાન્ય દૃશ્યસૂત્ર નીચે મુજબ છે: a^n * a^m = a^(n+m) . એવો પણ નિયમ છે કે શૂન્ય ઘાતની કોઈપણ સંખ્યા એકની બરાબર છે. અહીં આપણે નકારાત્મક શક્તિઓનો નિયમ યાદ રાખવો જોઈએ: a^(-n) = 1 / a^n. એટલે કે, જો 2^3 = 8, તો 2^(-3) = 1/8. આ નિયમનો ઉપયોગ કરીને, તમે સમાનતા a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) , a^ (n) ઘટાડી શકાય છે અને એક રહે છે. અહીંથી નિયમ પ્રાપ્ત થાય છે કે સમાન આધારો સાથેની શક્તિઓનો ભાગ આ આધારની બરાબર છે અને ડિવિડન્ડ અને વિભાજકના ભાગની સમાન ડિગ્રી છે: a^n: a^m = a^(n-m) . ઉદાહરણ: અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . ગુણાકાર એક વિનિમયાત્મક ક્રિયા છે, તેથી, તમારે પહેલા ગુણાકાર ઘાતાંક ઉમેરવું જોઈએ: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. આગળ તમારે વિભાજન સાથે વ્યવહાર કરવાની જરૂર છે નકારાત્મક ડિગ્રી. ડિવિડન્ડના ઘાતાંકમાંથી વિભાજકના ઘાતાંકને બાદ કરવો જરૂરી છે: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. તે તારણ આપે છે કે નકારાત્મક ડિગ્રી દ્વારા ભાગાકાર કરવાની ક્રિયા સમાન હકારાત્મક ઘાતાંક દ્વારા ગુણાકારની ક્રિયા સમાન છે. તો અંતિમ જવાબ 8 છે.

એવા ઉદાહરણો છે જ્યાં સત્તાઓનો બિન-પ્રમાણિક ગુણાકાર થાય છે. વિવિધ આધારો સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર ઘણીવાર વધુ મુશ્કેલ હોય છે, અને કેટલીકવાર અશક્ય પણ હોય છે. વિવિધ સંભવિત તકનીકોના કેટલાક ઉદાહરણો આપવા જોઈએ. ઉદાહરણ: અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. દેખીતી રીતે, વિવિધ આધારો સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર છે. પરંતુ એ નોંધવું જોઇએ કે તમામ પાયા ત્રણની જુદી જુદી શક્તિઓ છે. 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6. નિયમ (a^n) ^m = a^(n*m) નો ઉપયોગ કરીને, તમારે અભિવ્યક્તિને વધુ અનુકૂળ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખવી જોઈએ: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . જવાબ: 3^11. એવા કિસ્સાઓમાં જ્યાં પાયા અલગ હોય, નિયમ a^n * b^n = (a*b) ^n સમાન સૂચકાંકો માટે કામ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 3^3 * 7^3 = 21^3. નહિંતર, જ્યારે પાયા અને ઘાતાંક અલગ હોય, ત્યારે સંપૂર્ણ ગુણાકાર કરી શકાતો નથી. કેટલીકવાર તમે આંશિક રીતે સરળ બનાવી શકો છો અથવા કમ્પ્યુટર ટેક્નોલોજીની મદદ લઈ શકો છો.

વિષય પર પાઠ: "સમાન અને વિવિધ ઘાતાંક સાથે સત્તાઓના ગુણાકાર અને ભાગાકારના નિયમો. ઉદાહરણો"

વધારાની સામગ્રી
પ્રિય વપરાશકર્તાઓ, તમારી ટિપ્પણીઓ, સમીક્ષાઓ, શુભેચ્છાઓ આપવાનું ભૂલશો નહીં. એન્ટી-વાયરસ પ્રોગ્રામ દ્વારા તમામ સામગ્રીની તપાસ કરવામાં આવી છે.

ગ્રેડ 7 માટે ઈન્ટિગ્રલ ઓનલાઈન સ્ટોરમાં ટીચિંગ એઈડ્સ અને સિમ્યુલેટર
પાઠ્યપુસ્તક માટે મેન્યુઅલ Yu.N. એ.જી. દ્વારા પાઠ્યપુસ્તક માટે મકરીચેવા મેન્યુઅલ. મોર્ડકોવિચ

પાઠનો હેતુ: સંખ્યાઓની શક્તિઓ સાથે કામગીરી કરવાનું શીખો.

પ્રથમ, ચાલો "સંખ્યાની શક્તિ" ના ખ્યાલને યાદ કરીએ. $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n)$ ની અભિવ્યક્તિ $a^n$ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

વાતચીત પણ સાચી છે: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

આ સમાનતાને "ઉત્પાદન તરીકે ડિગ્રી રેકોર્ડિંગ" કહેવામાં આવે છે. તે અમને શક્તિઓને કેવી રીતે ગુણાકાર અને વિભાજીત કરવી તે નક્કી કરવામાં મદદ કરશે.
યાદ રાખો:
a- ડિગ્રીનો આધાર.
n- ઘાતાંક.
જો n=1, જેનો અર્થ થાય છે સંખ્યા એએકવાર લીધો અને તે મુજબ: $a^n=1$.
જો n = 0, પછી $a^0= 1$.

જ્યારે આપણે શક્તિઓના ગુણાકાર અને ભાગાકારના નિયમોથી પરિચિત થઈએ ત્યારે આવું શા માટે થાય છે તે આપણે શોધી શકીએ છીએ.

ગુણાકારના નિયમો

ઉદાહરણ.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

આ ગુણધર્મ કામને સરળ બનાવવા માટે વાપરવા માટે અનુકૂળ છે જ્યારે કોઈ સંખ્યાને વધુ પાવર પર વધારતી હોય.
ઉદાહરણ.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) જો વિવિધ આધારો ધરાવતી ડિગ્રી, પરંતુ સમાન ઘાતાંકનો ગુણાકાર કરવામાં આવે.
$a^n * b^n$ મેળવવા માટે, અમે ઉત્પાદન તરીકે ડિગ્રી લખીએ છીએ: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(મી )$.
જો આપણે પરિબળોની અદલાબદલી કરીએ અને પરિણામી જોડીઓની ગણતરી કરીએ, તો આપણને મળશે: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

તેથી $a^n * b^n= (a*b)^n$.

ઉદાહરણ.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

વિભાગના નિયમો

તેથી, અમને જરૂર છે $\frac(a^n)(a^m)$, ક્યાં n>m.

ચાલો ડિગ્રીને અપૂર્ણાંક તરીકે લખીએ:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

હવે આપણે અપૂર્ણાંક ઘટાડીએ.

તે તારણ આપે છે: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
અર્થ, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

આ ગુણધર્મ શૂન્ય શક્તિમાં સંખ્યા વધારવા સાથે પરિસ્થિતિને સમજાવવામાં મદદ કરશે. ચાલો માની લઈએ કે n=m, પછી $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

ઉદાહરણો.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) ડિગ્રીના પાયા અલગ છે, સૂચકાંકો સમાન છે.
ચાલો કહીએ કે આપણને $\frac(a^n)( b^n)$ની જરૂર છે. ચાલો સંખ્યાઓની શક્તિઓને અપૂર્ણાંક તરીકે લખીએ:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

ઉદાહરણ.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

છેલ્લા વિડિયો પાઠમાં, અમે શીખ્યા કે ચોક્કસ આધારની ડિગ્રી એ એક અભિવ્યક્તિ છે જે ઘાતાંકની બરાબર રકમમાં લીધેલ, પોતે જ આધારના ઉત્પાદનને રજૂ કરે છે. ચાલો હવે થોડો અભ્યાસ કરીએ સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મોઅને ડિગ્રીની કામગીરી.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો સમાન આધાર સાથે બે જુદી જુદી શક્તિઓનો ગુણાકાર કરીએ:

ચાલો આ કાર્યને સંપૂર્ણ રીતે રજૂ કરીએ:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

આ અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કર્યા પછી, અમને 32 નંબર મળે છે. બીજી બાજુ, સમાન ઉદાહરણમાંથી જોઈ શકાય છે, 32 એ સમાન આધાર (બે) ના ગુણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જે 5 વખત લેવામાં આવે છે. અને ખરેખર, જો તમે તેને ગણો છો, તો પછી:

આમ, અમે વિશ્વાસપૂર્વક નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

આ નિયમ કોઈપણ સૂચકાંકો અને કોઈપણ કારણોસર સફળતાપૂર્વક કાર્ય કરે છે. પાવર ગુણાકારની આ ગુણધર્મ એ નિયમને અનુસરે છે કે ઉત્પાદનમાં પરિવર્તન દરમિયાન અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ સચવાય છે. કોઈપણ આધાર a માટે, બે સમીકરણો (a)x અને (a)yનું ઉત્પાદન a(x + y) ની બરાબર છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જ્યારે સમાન આધાર સાથે કોઈપણ અભિવ્યક્તિ ઉત્પન્ન થાય છે, ત્યારે પરિણામી મોનોમિયલ પ્રથમ અને બીજા સમીકરણોની ડિગ્રી ઉમેરીને કુલ ડિગ્રી બનાવે છે.

કેટલાક અભિવ્યક્તિઓનો ગુણાકાર કરતી વખતે પ્રસ્તુત નિયમ પણ સરસ કામ કરે છે. મુખ્ય શરત એ છે કે દરેક પાસે સમાન પાયા છે. ઉદાહરણ તરીકે:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

ડિગ્રીઓ ઉમેરવાનું અશક્ય છે, અને જો તેમના પાયા અલગ હોય તો અભિવ્યક્તિના બે ઘટકો સાથે કોઈપણ શક્તિ-આધારિત સંયુક્ત ક્રિયાઓ હાથ ધરવી.
અમારો વિડિયો બતાવે છે તેમ, ગુણાકાર અને ભાગાકારની પ્રક્રિયાઓની સમાનતાને લીધે, ઉત્પાદનમાં સત્તા ઉમેરવાના નિયમો સંપૂર્ણ રીતે વિભાજન પ્રક્રિયામાં સ્થાનાંતરિત થાય છે. આ ઉદાહરણનો વિચાર કરો:

ચાલો આપણે અભિવ્યક્તિનું ટર્મ-બાય-ટર્મ રૂપાંતર કરીએ સંપૂર્ણ દૃશ્યઅને ડિવિડન્ડ અને વિભાજકમાં સમાન ઘટકોને ઘટાડે છે:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

આ ઉદાહરણનું અંતિમ પરિણામ એટલું રસપ્રદ નથી, કારણ કે તેને હલ કરવાની પ્રક્રિયામાં પહેલેથી જ તે સ્પષ્ટ છે કે અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય બેના ચોરસ જેટલું છે. અને તે બે છે જે પ્રથમની ડિગ્રીમાંથી બીજા અભિવ્યક્તિની ડિગ્રીને બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે.

ભાગની ડિગ્રી નક્કી કરવા માટે, ડિવિડન્ડની ડિગ્રીમાંથી વિભાજકની ડિગ્રી બાદ કરવી જરૂરી છે. નિયમ તેના તમામ મૂલ્યો અને તમામ કુદરતી શક્તિઓ માટે સમાન આધાર સાથે કામ કરે છે. અમૂર્ત સ્વરૂપમાં અમારી પાસે છે:

(a) x / (a) y = (a) x - y

સમાન પાયાને ડિગ્રી સાથે વિભાજીત કરવાના નિયમમાંથી, શૂન્ય ડિગ્રી માટેની વ્યાખ્યા નીચે મુજબ છે. દેખીતી રીતે, નીચેની અભિવ્યક્તિ આના જેવી લાગે છે:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

બીજી બાજુ, જો આપણે વિભાજનને વધુ વિઝ્યુઅલ રીતે કરીએ, તો આપણને મળે છે:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

અપૂર્ણાંકના તમામ દૃશ્યમાન ઘટકોને ઘટાડતી વખતે, અભિવ્યક્તિ 1/1 હંમેશા પ્રાપ્ત થાય છે, એટલે કે, એક. તેથી, તે સામાન્ય રીતે સ્વીકારવામાં આવે છે કે શૂન્ય શક્તિ સુધી વધારવામાં આવેલ કોઈપણ આધાર એક સમાન છે:

a ની કિંમતને ધ્યાનમાં લીધા વિના.

જો કે, તે વાહિયાત હશે જો 0 (જે હજુ પણ કોઈપણ ગુણાકાર માટે 0 આપે છે) કોઈક રીતે એક સમાન હોય, તેથી ફોર્મ (0) 0 (શૂન્યથી શૂન્ય શક્તિ) ની અભિવ્યક્તિનો અર્થ નથી, અને સૂત્ર ( a) 0 = 1 એક શરત ઉમેરો: "જો a 0 ની બરાબર નથી."

ચાલો કસરત હલ કરીએ. ચાલો અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધીએ:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

આધાર બધે સમાન અને 34 ની બરાબર હોવાથી, અંતિમ મૂલ્યમાં ડિગ્રી સાથે સમાન આધાર હશે (ઉપરના નિયમો અનુસાર):

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

જવાબ: અભિવ્યક્તિ એક સમાન છે.

ગણિતમાં ડિગ્રીનો ખ્યાલ બીજગણિત વર્ગમાં 7મા ધોરણમાં રજૂ કરવામાં આવ્યો છે. અને ત્યારબાદ, ગણિતના અભ્યાસના સમગ્ર અભ્યાસક્રમ દરમિયાન, આ ખ્યાલ તેના વિવિધ સ્વરૂપોમાં સક્રિયપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે. ડિગ્રી એ એક મુશ્કેલ વિષય છે, જેમાં મૂલ્યોને યાદ રાખવાની અને યોગ્ય રીતે અને ઝડપથી ગણતરી કરવાની ક્ષમતા જરૂરી છે. ડિગ્રી સાથે ઝડપી અને વધુ સારી રીતે કામ કરવા માટે, ગણિતશાસ્ત્રીઓ ડિગ્રી ગુણધર્મો સાથે આવ્યા. તેઓ મોટી ગણતરીઓ ઘટાડવામાં મદદ કરે છે, એક વિશાળ ઉદાહરણને અમુક અંશે એક જ સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરે છે. ત્યાં ઘણા બધા ગુણધર્મો નથી, અને તે બધા યાદ રાખવા અને વ્યવહારમાં લાગુ કરવા માટે સરળ છે. તેથી, લેખ ડિગ્રીના મૂળભૂત ગુણધર્મો તેમજ તે ક્યાં લાગુ કરવામાં આવે છે તેની ચર્ચા કરે છે.

ડિગ્રીના ગુણધર્મો

અમે સમાન આધારો સાથે ડિગ્રીના ગુણધર્મો સહિત 12 ડિગ્રીના ગુણધર્મો જોઈશું અને દરેક ગુણધર્મ માટે ઉદાહરણ આપીશું. આ દરેક પ્રોપર્ટીઝ તમને ડિગ્રી સાથેની સમસ્યાઓને ઝડપથી ઉકેલવામાં મદદ કરશે અને તમને અસંખ્ય કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂલોથી પણ બચાવશે.

1લી મિલકત.

ઘણા લોકો ઘણી વાર આ ગુણધર્મ વિશે ભૂલી જાય છે અને ભૂલો કરે છે, જે સંખ્યાને શૂન્ય શક્તિથી શૂન્ય તરીકે રજૂ કરે છે.

2જી મિલકત.

3જી મિલકત.

તે યાદ રાખવું આવશ્યક છે કે આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ ફક્ત ત્યારે જ થઈ શકે છે જ્યારે તે સંખ્યા સાથે કામ કરતું નથી; અને આપણે ભૂલવું જોઈએ નહીં કે આ અને નીચેના ગુણધર્મો ફક્ત સમાન પાયા ધરાવતી સત્તાઓને જ લાગુ પડે છે.

4 થી મિલકત.

જો છેદમાં કોઈ સંખ્યાને નકારાત્મક ઘાત સુધી વધારી દેવામાં આવે છે, તો પછી છેદની ડિગ્રી બાદ કરતી વખતે કૌંસમાં લેવામાં આવે છે યોગ્ય રિપ્લેસમેન્ટવધુ ગણતરીઓમાં સાઇન ઇન કરો.

મિલકત ભાગાકાર કરતી વખતે જ કામ કરે છે, બાદબાકી કરતી વખતે લાગુ પડતી નથી!

5મી મિલકત.

6 મી મિલકત.

આ મિલકતને પણ લાગુ કરી શકાય છે વિપરીત બાજુ. અમુક અંશે સંખ્યા વડે વિભાજિત એકમ તે સંખ્યાને બાદબાકી ઘાત છે.

7મી મિલકત.

આ મિલકત સરવાળો અને તફાવત પર લાગુ કરી શકાતી નથી! શક્તિમાં સરવાળો અથવા તફાવત વધારવા માટે પાવર ગુણધર્મોને બદલે સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરે છે.

8મી મિલકત.

9મી મિલકત.

આ ગુણધર્મ એક સમાન અંશ સાથે કોઈપણ અપૂર્ણાંક શક્તિ માટે કાર્ય કરે છે, સૂત્ર સમાન હશે, માત્ર મૂળની શક્તિ શક્તિના છેદના આધારે બદલાશે.

આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ વારંવાર વિપરીત રીતે પણ થાય છે. સંખ્યાની કોઈપણ ઘાતના રુટને આ સંખ્યા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે અને એકની ઘાતને રુટની શક્તિ વડે ભાગ્યા છે. આ ગુણધર્મ એવા કિસ્સાઓમાં ખૂબ જ ઉપયોગી છે જ્યાં સંખ્યાનું મૂળ કાઢી શકાતું નથી.

10મી મિલકત.

આ મિલકત માત્ર સાથે કામ કરે છે વર્ગમૂળઅને બીજી ડિગ્રી. જો મૂળની ડિગ્રી અને આ મૂળ ઉછેરવામાં આવે છે તે ડિગ્રી એકરૂપ હોય, તો જવાબ એક આમૂલ અભિવ્યક્તિ હશે.

11મી મિલકત.

તમારી જાતને મોટી ગણતરીઓથી બચાવવા માટે તેને ઉકેલતી વખતે તમારે આ મિલકતને સમયસર જોવામાં સમર્થ થવાની જરૂર છે.

12મી મિલકત.

આ દરેક ગુણધર્મો તમને એક કરતા વધુ વખત કાર્યોમાં આવશે; તે તેના શુદ્ધ સ્વરૂપમાં આપી શકાય છે, અથવા તેને કેટલાક પરિવર્તન અને અન્ય સૂત્રોના ઉપયોગની જરૂર પડી શકે છે. તેથી માટે યોગ્ય નિર્ણયતમારે અન્ય ગાણિતિક જ્ઞાનનો અભ્યાસ અને સમાવેશ કરવાની જરૂર છે તે માત્ર ગુણધર્મોને જાણવું પૂરતું નથી.

ડિગ્રી અને તેમની મિલકતોનો ઉપયોગ

તેઓ બીજગણિત અને ભૂમિતિમાં સક્રિયપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે. ગણિતમાં ડિગ્રીઓ એક અલગ, મહત્વપૂર્ણ સ્થાન ધરાવે છે. તેમની સહાયથી, ઘાતાંકીય સમીકરણો અને અસમાનતાઓ ઉકેલવામાં આવે છે, અને ગણિતની અન્ય શાખાઓ સાથે સંબંધિત સમીકરણો અને ઉદાહરણો ઘણીવાર શક્તિઓ દ્વારા જટિલ હોય છે. શક્તિઓ મોટી અને લાંબી ગણતરીઓને ટાળવામાં મદદ કરે છે; પરંતુ મોટી ડિગ્રી સાથે અથવા ડિગ્રી સાથે કામ કરવા માટે મોટી સંખ્યામાં, તમારે ફક્ત ડિગ્રીના ગુણધર્મોને જ જાણવાની જરૂર નથી, પણ પાયા સાથે નિપુણતાથી કાર્ય કરવાની પણ જરૂર છે, તમારા કાર્યને સરળ બનાવવા માટે તેમને વિઘટન કરવામાં સક્ષમ બનો. સગવડતા માટે, તમારે પાવર સુધી વધેલી સંખ્યાઓનો અર્થ પણ જાણવો જોઈએ. લાંબી ગણતરીઓની જરૂરિયાતને દૂર કરીને, હલ કરતી વખતે આ તમારો સમય ઘટાડશે.

ડિગ્રીનો ખ્યાલ લઘુગણકમાં વિશેષ ભૂમિકા ભજવે છે. કારણ કે લઘુગણક, સારમાં, સંખ્યાની શક્તિ છે.

સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો એ સત્તાના ઉપયોગનું બીજું ઉદાહરણ છે. તેમાં ડિગ્રીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરી શકાતો નથી; ખાસ નિયમો, પરંતુ દરેક સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રમાં અચૂક ડિગ્રીઓ હોય છે.

ભૌતિકશાસ્ત્ર અને કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં પણ ડિગ્રીનો સક્રિય ઉપયોગ થાય છે. SI સિસ્ટમમાં તમામ રૂપાંતરણ શક્તિઓનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે, અને ભવિષ્યમાં, સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, પાવરના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં, સંખ્યાઓની ધારણાને ગણતરી અને સરળ બનાવવાની સુવિધા માટે બેની શક્તિઓનો સક્રિય ઉપયોગ થાય છે. માપના એકમોને કન્વર્ટ કરવા અથવા સમસ્યાઓની ગણતરીઓ માટે આગળની ગણતરીઓ, ભૌતિકશાસ્ત્રની જેમ, ડિગ્રીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને થાય છે.

ડિગ્રીઓ ખગોળશાસ્ત્રમાં પણ ખૂબ જ ઉપયોગી છે, જ્યાં તમે ભાગ્યે જ કોઈ ડિગ્રીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ જોશો, પરંતુ ડિગ્રીનો ઉપયોગ વિવિધ જથ્થાઓ અને અંતરના સંકેતોને ટૂંકાવી દેવા માટે સક્રિયપણે થાય છે.

વિસ્તારો, વોલ્યુમો અને અંતરની ગણતરી કરતી વખતે, રોજિંદા જીવનમાં પણ ડિગ્રીનો ઉપયોગ થાય છે.

ડિગ્રીનો ઉપયોગ વિજ્ઞાનના કોઈપણ ક્ષેત્રમાં ખૂબ મોટી અને ખૂબ ઓછી માત્રામાં રેકોર્ડ કરવા માટે થાય છે.

ઘાતાંકીય સમીકરણો અને અસમાનતાઓ

ડિગ્રીના ગુણધર્મ ચોક્કસ રીતે એક વિશિષ્ટ સ્થાન ધરાવે છે ઘાતાંકીય સમીકરણોઅને અસમાનતા. આ કાર્યો ખૂબ જ સામાન્ય છે, જેમ કે શાળા અભ્યાસક્રમ, અને પરીક્ષાઓમાં. તે બધા ડિગ્રીના ગુણધર્મોને લાગુ કરીને હલ કરવામાં આવે છે. અજ્ઞાત હંમેશા ડિગ્રીમાં જ જોવા મળે છે, તેથી તમામ ગુણધર્મોને જાણીને, આવા સમીકરણ અથવા અસમાનતાને ઉકેલવું મુશ્કેલ નથી.

તે સ્પષ્ટ છે કે અન્ય જથ્થાઓની જેમ સત્તાઓ સાથેની સંખ્યાઓ ઉમેરી શકાય છે , તેમને તેમના ચિહ્નો સાથે એક પછી એક ઉમેરીને.

તેથી, a 3 અને b 2 નો સરવાળો એ 3 + b 2 છે.
a 3 - b n અને h 5 -d 4 નો સરવાળો a 3 - b n + h 5 - d 4 છે.

મતભેદ સમાન ચલોની સમાન ડિગ્રીઉમેરી અથવા બાદ કરી શકાય છે.

તેથી, 2a 2 અને 3a 2 નો સરવાળો 5a 2 બરાબર છે.

તે પણ સ્પષ્ટ છે કે જો તમે બે ચોરસ a, અથવા ત્રણ ચોરસ a, અથવા પાંચ ચોરસ a લો છો.

પરંતુ ડિગ્રીઓ વિવિધ ચલોઅને વિવિધ ડિગ્રીઓ સમાન ચલો, તેમને તેમના ચિહ્નો સાથે ઉમેરીને કંપોઝ કરવું આવશ્યક છે.

તેથી, a 2 અને a 3 નો સરવાળો એ 2 + a 3 નો સરવાળો છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે a નો વર્ગ અને a નો ઘન, a ના ચોરસના બમણા સમાન નથી, પરંતુ a ના ઘન ના બમણા સમાન છે.

a 3 b n અને 3a 5 b 6 નો સરવાળો a 3 b n + 3a 5 b 6 છે.

બાદબાકીવધારાની જેમ જ સત્તાઓ હાથ ધરવામાં આવે છે, સિવાય કે સબટ્રાહેન્ડ્સના ચિહ્નો તે મુજબ બદલાવા જોઈએ.

અથવા:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

ગુણાકાર શક્તિઓ

અન્ય જથ્થાઓની જેમ, એક પછી એક લખીને, તેમની વચ્ચે ગુણાકારની ચિહ્ન સાથે અથવા તેના વગર સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરી શકાય છે.

આમ, 3 ને b 2 વડે ગુણાકાર કરવાનું પરિણામ એ 3 b 2 અથવા aaabb છે.

અથવા:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

છેલ્લા ઉદાહરણમાં પરિણામ સમાન ચલો ઉમેરીને ઓર્ડર કરી શકાય છે.
અભિવ્યક્તિ ફોર્મ લેશે: a 5 b 5 y 3.

સંખ્યાબંધ સંખ્યાઓ (ચલો) ને શક્તિઓ સાથે સરખાવીને, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે જો તેમાંથી કોઈપણ બેનો ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો પરિણામ એ સંખ્યા (ચલ) છે જેની શક્તિ સમાન છે. રકમશરતોની ડિગ્રી.

તેથી, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

અહીં 5 એ ગુણાકારના પરિણામની શક્તિ છે, જે 2 + 3 ની બરાબર છે, શરતોની શક્તિઓનો સરવાળો છે.

તેથી, a n .a m = a m+n .

n માટે , a એ n ની ઘાત જેટલી વખત અવયવ તરીકે લેવામાં આવે છે;

અને ડિગ્રી m જેટલી હોય તેટલી વખત એક m અવયવ તરીકે લેવામાં આવે છે;

તેથી જ, સમાન આધારો સાથેની શક્તિઓનો ઘાતાંક ઉમેરીને ગુણાકાર કરી શકાય છે.

તેથી, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . અને x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

અથવા:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

ગુણાકાર કરો (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
જવાબ: x 4 - y 4.
ગુણાકાર કરો (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

આ નિયમ સંખ્યાઓ માટે પણ સાચો છે જેના ઘાતાંક છે નકારાત્મક.

1. તેથી, a -2 .a -3 = a -5 . આને (1/aa) તરીકે લખી શકાય.(1/aaa) = 1/aaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

જો a + b ને a - b વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે તો પરિણામ 2 - b 2 આવશે: એટલે કે

બે સંખ્યાઓના સરવાળા અથવા તફાવતને ગુણાકાર કરવાનું પરિણામ તેમના વર્ગોના સરવાળા અથવા તફાવતની બરાબર છે.

જો તમે વધેલી બે સંખ્યાઓનો સરવાળો અને તફાવતનો ગુણાકાર કરો ચોરસ, પરિણામ આ સંખ્યાઓના સરવાળા અથવા તફાવતની બરાબર હશે ચોથુંડિગ્રી

તેથી, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

ડિગ્રીઓનું વિભાજન

ડિવિડન્ડમાંથી બાદબાકી કરીને અથવા તેને અપૂર્ણાંક સ્વરૂપમાં મૂકીને સત્તાઓ ધરાવતી સંખ્યાઓને અન્ય સંખ્યાઓની જેમ વિભાજિત કરી શકાય છે.

આમ, a 3 b 2 ભાગ્યા b 2 એ 3 બરાબર છે.

અથવા:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5 ને 3 વડે ભાગ્યા લખવું એ $\frac(a^5)(a^3)$ જેવું લાગે છે. પરંતુ આ 2 બરાબર છે. સંખ્યાઓની શ્રેણીમાં
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
કોઈપણ સંખ્યાને બીજા વડે ભાગી શકાય છે, અને ઘાતાંક બરાબર હશે તફાવતવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સૂચક.

સમાન આધાર સાથે ડિગ્રીને વિભાજિત કરતી વખતે, તેમના ઘાતાંક બાદ કરવામાં આવે છે..

તેથી, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. એટલે કે, $\frac(yyy)(yy) = y$.

અને n+1:a = a n+1-1 = a n . એટલે કે, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

અથવા:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

સાથેની સંખ્યાઓ માટે પણ નિયમ સાચો છે નકારાત્મકડિગ્રીના મૂલ્યો.
a -5 ને a -3 વડે ભાગવાનું પરિણામ a -2 છે.
ઉપરાંત, $\frac(1)(aaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 અથવા $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

શક્તિઓના ગુણાકાર અને વિભાજનમાં ખૂબ જ સારી રીતે નિપુણતા મેળવવી જરૂરી છે, કારણ કે આવી કામગીરી બીજગણિતમાં ખૂબ વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે.

સત્તાઓ સાથે સંખ્યાઓ ધરાવતા અપૂર્ણાંકો સાથે ઉદાહરણો ઉકેલવાના ઉદાહરણો

1. $\frac(5a^4)(3a^2)$ દ્વારા ઘાતાંકમાં ઘટાડો કરો જવાબ: $\frac(5a^2)(3)$.

2. ઘાતાંકમાં $\frac(6x^6)(3x^5)$ દ્વારા ઘટાડો. જવાબ: $\frac(2x)(1)$ અથવા 2x.

3. 2 /a 3 અને a -3 /a -4 ઘાતાંક ઘટાડીને સામાન્ય છેદ પર લાવો.
a 2 .a -4 એ -2 પ્રથમ અંશ છે.
a 3 .a -3 એ 0 = 1 છે, બીજો અંશ.
a 3 .a -4 એ -1 છે, સામાન્ય અંશ.
સરળીકરણ પછી: a -2 /a -1 અને 1/a -1 .

4. ઘાતાંક 2a 4/5a 3 અને 2 /a 4 ને ઘટાડીને સામાન્ય છેદ પર લાવો.
જવાબ: 2a 3/5a 7 અને 5a 5/5a 7 અથવા 2a 3/5a 2 અને 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 ને (a - b)/3 વડે ગુણાકાર કરો.

6. (a 5 + 1)/x 2 ને (b 2 - 1)/(x + a) વડે ગુણાકાર કરો.

7. b 4 /a -2 ને h -3 /x અને a n /y -3 વડે ગુણાકાર કરો.

8. 4 /y 3 ને 3 /y 2 વડે ભાગો. જવાબ: a/y.

9. ભાગાકાર (h 3 - 1)/d 4 દ્વારા (d n + 1)/h.