જો ડિગ્રી સમાન હોય પરંતુ પાયા અલગ હોય, તો. ડિગ્રી અને તેના ગુણધર્મો

ગણિતમાં ડિગ્રીનો ખ્યાલ બીજગણિત વર્ગમાં 7મા ધોરણમાં રજૂ કરવામાં આવ્યો છે. અને ત્યારબાદ, ગણિતના અભ્યાસના સમગ્ર અભ્યાસક્રમ દરમિયાન, આ ખ્યાલ તેના વિવિધ સ્વરૂપોમાં સક્રિયપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે. ડિગ્રી એ એક મુશ્કેલ વિષય છે, જેમાં મૂલ્યોને યાદ રાખવાની અને યોગ્ય રીતે અને ઝડપથી ગણતરી કરવાની ક્ષમતા જરૂરી છે. ડિગ્રી સાથે ઝડપી અને વધુ સારી રીતે કામ કરવા માટે, ગણિતશાસ્ત્રીઓ ડિગ્રી ગુણધર્મો સાથે આવ્યા. તેઓ મોટી ગણતરીઓ ઘટાડવામાં મદદ કરે છે, એક વિશાળ ઉદાહરણને અમુક અંશે એક જ સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરે છે. ત્યાં ઘણા બધા ગુણધર્મો નથી, અને તે બધા યાદ રાખવા અને વ્યવહારમાં લાગુ કરવા માટે સરળ છે. તેથી, લેખ ડિગ્રીના મૂળભૂત ગુણધર્મો તેમજ તે ક્યાં લાગુ કરવામાં આવે છે તેની ચર્ચા કરે છે.

ડિગ્રીના ગુણધર્મો

અમે સમાન આધારો સાથે ડિગ્રીના ગુણધર્મો સહિત 12 ડિગ્રીના ગુણધર્મો જોઈશું અને દરેક ગુણધર્મ માટે ઉદાહરણ આપીશું. આ દરેક પ્રોપર્ટીઝ તમને ડિગ્રી સાથેની સમસ્યાઓને ઝડપથી ઉકેલવામાં મદદ કરશે અને તમને અસંખ્ય કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂલોથી પણ બચાવશે.

1લી મિલકત.

ઘણા લોકો ઘણી વાર આ ગુણધર્મ વિશે ભૂલી જાય છે અને ભૂલો કરે છે, જે સંખ્યાને શૂન્ય શક્તિથી શૂન્ય તરીકે રજૂ કરે છે.

2જી મિલકત.

3જી મિલકત.

તે યાદ રાખવું આવશ્યક છે કે આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ ફક્ત ત્યારે જ થઈ શકે છે જ્યારે તે સંખ્યા સાથે કામ કરતું નથી; અને આપણે ભૂલવું જોઈએ નહીં કે આ અને નીચેના ગુણધર્મો ફક્ત સમાન પાયા ધરાવતી સત્તાઓને જ લાગુ પડે છે.

4 થી મિલકત.

જો છેદમાં કોઈ સંખ્યાને નકારાત્મક ઘાત સુધી વધારી દેવામાં આવે છે, તો પછી છેદની ડિગ્રી બાદ કરતી વખતે કૌંસમાં લેવામાં આવે છે યોગ્ય રિપ્લેસમેન્ટવધુ ગણતરીઓમાં સાઇન ઇન કરો.

મિલકત ભાગાકાર કરતી વખતે જ કામ કરે છે, બાદબાકી કરતી વખતે લાગુ પડતી નથી!

5મી મિલકત.

6 મી મિલકત.

આ ગુણધર્મને વિરુદ્ધ દિશામાં પણ લાગુ કરી શકાય છે. અમુક અંશે સંખ્યા વડે વિભાજિત એકમ તે સંખ્યાને બાદબાકી ઘાત છે.

7મી મિલકત.

આ મિલકત સરવાળો અને તફાવત પર લાગુ કરી શકાતી નથી! શક્તિમાં સરવાળો અથવા તફાવત વધારવા માટે પાવર ગુણધર્મોને બદલે સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરે છે.

8મી મિલકત.

9મી મિલકત.

આ ગુણધર્મ એક સમાન અંશ સાથે કોઈપણ અપૂર્ણાંક શક્તિ માટે કાર્ય કરે છે, સૂત્ર સમાન હશે, માત્ર મૂળની શક્તિ શક્તિના છેદના આધારે બદલાશે.

આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ વારંવાર વિપરીત રીતે પણ થાય છે. સંખ્યાની કોઈપણ ઘાતના રુટને આ સંખ્યા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે અને એકની ઘાતને રુટની શક્તિ વડે ભાગ્યા છે. આ ગુણધર્મ એવા કિસ્સાઓમાં ખૂબ જ ઉપયોગી છે જ્યાં સંખ્યાનું મૂળ કાઢી શકાતું નથી.

10મી મિલકત.

આ મિલકત માત્ર સાથે કામ કરે છે વર્ગમૂળઅને બીજી ડિગ્રી. જો મૂળની ડિગ્રી અને આ મૂળ ઉછેરવામાં આવે છે તે ડિગ્રી એકરૂપ હોય, તો જવાબ એક આમૂલ અભિવ્યક્તિ હશે.

11મી મિલકત.

તમારી જાતને મોટી ગણતરીઓથી બચાવવા માટે તેને ઉકેલતી વખતે તમારે આ મિલકતને સમયસર જોવામાં સમર્થ થવાની જરૂર છે.

12મી મિલકત.

આ દરેક ગુણધર્મો તમને એક કરતા વધુ વખત કાર્યોમાં આવશે; તે તેના શુદ્ધ સ્વરૂપમાં આપી શકાય છે, અથવા તેને કેટલાક પરિવર્તન અને અન્ય સૂત્રોના ઉપયોગની જરૂર પડી શકે છે. તેથી માટે યોગ્ય નિર્ણયતમારે અન્ય ગાણિતિક જ્ઞાનનો અભ્યાસ અને સમાવેશ કરવાની જરૂર છે તે માત્ર ગુણધર્મોને જાણવું પૂરતું નથી.

ડિગ્રી અને તેમની મિલકતોનો ઉપયોગ

તેઓ બીજગણિત અને ભૂમિતિમાં સક્રિયપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે. ગણિતમાં ડિગ્રીઓ એક અલગ, મહત્વપૂર્ણ સ્થાન ધરાવે છે. તેમની સહાયથી, ઘાતાંકીય સમીકરણો અને અસમાનતાઓ ઉકેલવામાં આવે છે, અને ગણિતની અન્ય શાખાઓ સાથે સંબંધિત સમીકરણો અને ઉદાહરણો ઘણીવાર શક્તિઓ દ્વારા જટિલ હોય છે. શક્તિઓ મોટી અને લાંબી ગણતરીઓને ટાળવામાં મદદ કરે છે; પરંતુ મોટી શક્તિઓ સાથે અથવા મોટી સંખ્યામાં શક્તિઓ સાથે કામ કરવા માટે, તમારે ફક્ત શક્તિના ગુણધર્મો જ નહીં, પણ પાયા સાથે સક્ષમતાથી કામ કરવાની જરૂર છે, તમારા કાર્યને સરળ બનાવવા માટે તેમને વિસ્તૃત કરવામાં સક્ષમ બનો. સગવડતા માટે, તમારે પાવર સુધી વધેલી સંખ્યાઓનો અર્થ પણ જાણવો જોઈએ. લાંબી ગણતરીઓની જરૂરિયાતને દૂર કરીને, હલ કરતી વખતે આ તમારો સમય ઘટાડશે.

ડિગ્રીનો ખ્યાલ લઘુગણકમાં વિશેષ ભૂમિકા ભજવે છે. કારણ કે લઘુગણક, સારમાં, સંખ્યાની શક્તિ છે.

સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો એ સત્તાના ઉપયોગનું બીજું ઉદાહરણ છે. તેમાં ડિગ્રીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરી શકાતો નથી; ખાસ નિયમો, પરંતુ દરેક સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રમાં અચૂક ડિગ્રીઓ હોય છે.

ભૌતિકશાસ્ત્ર અને કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં પણ ડિગ્રીનો સક્રિય ઉપયોગ થાય છે. SI સિસ્ટમમાં તમામ રૂપાંતરણ શક્તિઓનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે, અને ભવિષ્યમાં, સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, પાવરના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં, સંખ્યાઓની ધારણાને ગણતરી અને સરળ બનાવવાની સુવિધા માટે બેની શક્તિઓનો સક્રિય ઉપયોગ થાય છે. માપના એકમોને કન્વર્ટ કરવા અથવા સમસ્યાઓની ગણતરીઓ માટે આગળની ગણતરીઓ, ભૌતિકશાસ્ત્રની જેમ, ડિગ્રીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને થાય છે.

ડિગ્રીઓ ખગોળશાસ્ત્રમાં પણ ખૂબ જ ઉપયોગી છે, જ્યાં તમે ભાગ્યે જ કોઈ ડિગ્રીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ જોશો, પરંતુ ડિગ્રીનો ઉપયોગ વિવિધ જથ્થાઓ અને અંતરના સંકેતોને ટૂંકાવી દેવા માટે સક્રિયપણે થાય છે.

વિસ્તારો, વોલ્યુમો અને અંતરની ગણતરી કરતી વખતે, રોજિંદા જીવનમાં પણ ડિગ્રીનો ઉપયોગ થાય છે.

ડિગ્રીનો ઉપયોગ વિજ્ઞાનના કોઈપણ ક્ષેત્રમાં ખૂબ મોટી અને ખૂબ ઓછી માત્રામાં રેકોર્ડ કરવા માટે થાય છે.

ઘાતાંકીય સમીકરણો અને અસમાનતાઓ

ડિગ્રીના ગુણધર્મ ચોક્કસ રીતે એક વિશિષ્ટ સ્થાન ધરાવે છે ઘાતાંકીય સમીકરણોઅને અસમાનતા. આ કાર્યો ખૂબ જ સામાન્ય છે, જેમ કે શાળા અભ્યાસક્રમ, અને પરીક્ષાઓમાં. તે બધા ડિગ્રીના ગુણધર્મોને લાગુ કરીને હલ કરવામાં આવે છે. અજ્ઞાત હંમેશા ડિગ્રીમાં જ જોવા મળે છે, તેથી તમામ ગુણધર્મોને જાણીને, આવા સમીકરણ અથવા અસમાનતાને ઉકેલવું મુશ્કેલ નથી.

વિષય પર પાઠ: "સમાન અને વિવિધ ઘાતાંક સાથે સત્તાઓના ગુણાકાર અને ભાગાકારના નિયમો. ઉદાહરણો"

વધારાની સામગ્રી
પ્રિય વપરાશકર્તાઓ, તમારી ટિપ્પણીઓ, સમીક્ષાઓ, શુભેચ્છાઓ આપવાનું ભૂલશો નહીં. એન્ટી-વાયરસ પ્રોગ્રામ દ્વારા તમામ સામગ્રીની તપાસ કરવામાં આવી છે.

ગ્રેડ 7 માટે ઈન્ટિગ્રલ ઓનલાઈન સ્ટોરમાં ટીચિંગ એઈડ્સ અને સિમ્યુલેટર
પાઠ્યપુસ્તક માટે મેન્યુઅલ Yu.N. એ.જી. દ્વારા પાઠ્યપુસ્તક માટે મકરીચેવા મેન્યુઅલ. મોર્ડકોવિચ

પાઠનો હેતુ: સંખ્યાઓની શક્તિઓ સાથે કામગીરી કરવાનું શીખો.

પ્રથમ, ચાલો "સંખ્યાની શક્તિ" ના ખ્યાલને યાદ કરીએ. $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n)$ ની અભિવ્યક્તિ $a^n$ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

વાતચીત પણ સાચી છે: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

આ સમાનતાને "ઉત્પાદન તરીકે ડિગ્રી રેકોર્ડિંગ" કહેવામાં આવે છે. તે અમને શક્તિઓને કેવી રીતે ગુણાકાર અને વિભાજીત કરવી તે નક્કી કરવામાં મદદ કરશે.
યાદ રાખો:
a – ડિગ્રી આધાર.
n – ઘાત.
જો n=1, જેનો અર્થ થાય છે સંખ્યા એએકવાર લીધો અને તે મુજબ: $a^n=1$.
જો n = 0, પછી $a^0= 1$.

જ્યારે આપણે શક્તિઓના ગુણાકાર અને ભાગાકારના નિયમોથી પરિચિત થઈએ ત્યારે આવું શા માટે થાય છે તે આપણે શોધી શકીએ છીએ.

ગુણાકારના નિયમો

ઉદાહરણ.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

આ ગુણધર્મ કામને સરળ બનાવવા માટે વાપરવા માટે અનુકૂળ છે જ્યારે કોઈ સંખ્યાને વધુ પાવર પર વધારતી હોય.
ઉદાહરણ.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) જો વિવિધ આધારો ધરાવતી ડિગ્રી, પરંતુ સમાન ઘાતાંકનો ગુણાકાર કરવામાં આવે.
$a^n * b^n$ મેળવવા માટે, અમે ઉત્પાદન તરીકે ડિગ્રી લખીએ છીએ: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(મી )$.
જો આપણે પરિબળોની અદલાબદલી કરીએ અને પરિણામી જોડીઓની ગણતરી કરીએ, તો આપણને મળશે: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

તેથી $a^n * b^n= (a*b)^n$.

ઉદાહરણ.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

વિભાગના નિયમો

તેથી, અમને જરૂર છે $\frac(a^n)(a^m)$, ક્યાં n>m.

ચાલો ડિગ્રીને અપૂર્ણાંક તરીકે લખીએ:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

હવે આપણે અપૂર્ણાંક ઘટાડીએ.

તે તારણ આપે છે: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
અર્થ, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

આ ગુણધર્મ શૂન્ય શક્તિમાં સંખ્યા વધારવા સાથે પરિસ્થિતિને સમજાવવામાં મદદ કરશે. ચાલો માની લઈએ n=m, પછી $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

ઉદાહરણો.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) ડિગ્રીના પાયા અલગ છે, સૂચકાંકો સમાન છે.
ચાલો કહીએ કે આપણને $\frac(a^n)( b^n)$ની જરૂર છે. ચાલો સંખ્યાઓની શક્તિઓને અપૂર્ણાંક તરીકે લખીએ:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

ઉદાહરણ.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

સત્તાઓનો સરવાળો અને બાદબાકી

તે સ્પષ્ટ છે કે અન્ય જથ્થાઓની જેમ સત્તાઓ સાથેની સંખ્યાઓ ઉમેરી શકાય છે , તેમને તેમના ચિહ્નો સાથે એક પછી એક ઉમેરીને.

તેથી, a 3 અને b 2 નો સરવાળો એ 3 + b 2 છે.
a 3 - b n અને h 5 -d 4 નો સરવાળો a 3 - b n + h 5 - d 4 છે.

મતભેદ સમાન ચલોની સમાન ડિગ્રીઉમેરી અથવા બાદ કરી શકાય છે.

તેથી, 2a 2 અને 3a 2 નો સરવાળો 5a 2 બરાબર છે.

તે પણ સ્પષ્ટ છે કે જો તમે બે ચોરસ a, અથવા ત્રણ ચોરસ a, અથવા પાંચ ચોરસ a લો છો.

પરંતુ ડિગ્રીઓ વિવિધ ચલોઅને વિવિધ ડિગ્રીઓ સમાન ચલો, તેમને તેમના ચિહ્નો સાથે ઉમેરીને કંપોઝ કરવું આવશ્યક છે.

તેથી, a 2 અને a 3 નો સરવાળો એ 2 + a 3 નો સરવાળો છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે a નો વર્ગ અને a નો ઘન, a ના ચોરસના બમણા સમાન નથી, પરંતુ a ના ઘન ના બમણા સમાન છે.

a 3 b n અને 3a 5 b 6 નો સરવાળો a 3 b n + 3a 5 b 6 છે.

બાદબાકીવધારાની જેમ જ સત્તાઓ હાથ ધરવામાં આવે છે, સિવાય કે સબટ્રાહેન્ડ્સના ચિહ્નો તે મુજબ બદલાવા જોઈએ.

અથવા:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

ગુણાકાર શક્તિઓ

અન્ય જથ્થાઓની જેમ, એક પછી એક લખીને, તેમની વચ્ચે ગુણાકારની ચિહ્ન સાથે અથવા તેના વગર સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરી શકાય છે.

આમ, 3 ને b 2 વડે ગુણાકાર કરવાનું પરિણામ એ 3 b 2 અથવા aaabb છે.

અથવા:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

છેલ્લા ઉદાહરણમાં પરિણામ સમાન ચલો ઉમેરીને ઓર્ડર કરી શકાય છે.
અભિવ્યક્તિ ફોર્મ લેશે: a 5 b 5 y 3.

સંખ્યાબંધ સંખ્યાઓ (ચલો) ને શક્તિઓ સાથે સરખાવીને, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે જો તેમાંથી કોઈપણ બેનો ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો પરિણામ એ સંખ્યા (ચલ) છે જેની શક્તિ સમાન છે. રકમશરતોની ડિગ્રી.

તેથી, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

અહીં 5 એ ગુણાકારના પરિણામની શક્તિ છે, જે 2 + 3, શરતોની શક્તિઓનો સરવાળો છે.

તેથી, a n .a m = a m+n .

n માટે , a એ n ની ઘાત જેટલી વખત અવયવ તરીકે લેવામાં આવે છે;

અને ડિગ્રી m જેટલી હોય તેટલી વખત એક m અવયવ તરીકે લેવામાં આવે છે;

તેથી જ, સમાન આધારો સાથેની શક્તિઓનો ઘાતાંક ઉમેરીને ગુણાકાર કરી શકાય છે.

તેથી, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . અને x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

અથવા:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

ગુણાકાર કરો (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
જવાબ: x 4 - y 4.
ગુણાકાર કરો (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

આ નિયમ સંખ્યાઓ માટે પણ સાચો છે જેના ઘાતાંક છે નકારાત્મક.

1. તેથી, a -2 .a -3 = a -5 . આને (1/aa) તરીકે લખી શકાય.(1/aaa) = 1/aaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

જો a + b ને a - b વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે તો પરિણામ 2 - b 2 આવશે: એટલે કે

બે સંખ્યાઓના સરવાળા અથવા તફાવતને ગુણાકાર કરવાનું પરિણામ તેમના વર્ગોના સરવાળા અથવા તફાવતની બરાબર છે.

જો તમે વધેલી બે સંખ્યાઓનો સરવાળો અને તફાવતનો ગુણાકાર કરો ચોરસ, પરિણામ આ સંખ્યાઓના સરવાળા અથવા તફાવતની બરાબર હશે ચોથુંડિગ્રી

તેથી, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

ડિગ્રીઓનું વિભાજન

ડિવિડન્ડમાંથી બાદબાકી કરીને અથવા તેને અપૂર્ણાંક સ્વરૂપમાં મૂકીને સત્તાઓ ધરાવતી સંખ્યાઓને અન્ય સંખ્યાઓની જેમ વિભાજિત કરી શકાય છે.

આમ, a 3 b 2 ભાગ્યા b 2 એ 3 બરાબર છે.

5 ને 3 વડે ભાગ્યા લખવું $\frac જેવું લાગે છે $. પરંતુ આ 2 બરાબર છે. સંખ્યાઓની શ્રેણીમાં
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
કોઈપણ સંખ્યાને બીજા વડે ભાગી શકાય છે, અને ઘાતાંક બરાબર હશે તફાવતવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સૂચક.

સમાન આધાર સાથે ડિગ્રીને વિભાજિત કરતી વખતે, તેમના ઘાતાંક બાદ કરવામાં આવે છે..

તેથી, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. એટલે કે, $\frac = y$.

અને n+1:a = a n+1-1 = a n . એટલે કે, $\frac = a^n$.

અથવા:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

સાથેની સંખ્યાઓ માટે પણ નિયમ સાચો છે નકારાત્મકડિગ્રીના મૂલ્યો.
a -5 ને a -3 વડે ભાગવાનું પરિણામ a -2 છે.
ઉપરાંત, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 અથવા $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

શક્તિઓના ગુણાકાર અને વિભાજનમાં ખૂબ જ સારી રીતે નિપુણતા મેળવવી જરૂરી છે, કારણ કે આવી કામગીરી બીજગણિતમાં ખૂબ વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે.

સત્તાઓ સાથે સંખ્યાઓ ધરાવતા અપૂર્ણાંકો સાથે ઉદાહરણો ઉકેલવાના ઉદાહરણો

1. $\frac $ દ્વારા ઘાતાંક ઘટાડો જવાબ: $\frac $.

2. ઘાતમાં $\frac$ દ્વારા ઘટાડો. જવાબ: $\frac$ અથવા 2x.

3. 2 /a 3 અને a -3 /a -4 ઘાતાંક ઘટાડીને સામાન્ય છેદ પર લાવો.
a 2 .a -4 એ -2 પ્રથમ અંશ છે.
a 3 .a -3 એ 0 = 1 છે, બીજો અંશ.
a 3 .a -4 એ -1 છે, સામાન્ય અંશ.
સરળીકરણ પછી: a -2 /a -1 અને 1/a -1 .

4. ઘાતાંક 2a 4/5a 3 અને 2 /a 4 ને ઘટાડીને સામાન્ય છેદ પર લાવો.
જવાબ: 2a 3/5a 7 અને 5a 5/5a 7 અથવા 2a 3/5a 2 અને 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 ને (a - b)/3 વડે ગુણાકાર કરો.

6. (a 5 + 1)/x 2 ને (b 2 - 1)/(x + a) વડે ગુણાકાર કરો.

7. b 4 /a -2 ને h -3 /x અને a n /y -3 વડે ગુણાકાર કરો.

8. 4 /y 3 ને 3 /y 2 વડે ભાગો. જવાબ: a/y.

ડિગ્રીના ગુણધર્મો

અમે તમને યાદ અપાવીએ છીએ કે આ પાઠમાં અમે સમજીશું ડિગ્રીના ગુણધર્મોકુદરતી સૂચકાંકો અને શૂન્ય સાથે. તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓ અને તેમની મિલકતોની 8મા ધોરણના પાઠમાં ચર્ચા કરવામાં આવશે.

કુદરતી સૂચક સાથેની ડિગ્રી ઘણી હોય છે મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો, જે તમને સત્તાવાળા ઉદાહરણોમાં ગણતરીઓને સરળ બનાવવા દે છે.

મિલકત નંબર 1
શક્તિઓનું ઉત્પાદન

જ્યારે સમાન આધારો સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે આધાર યથાવત રહે છે, અને શક્તિઓના ઘાતાંક ઉમેરવામાં આવે છે.

a m · a n = a m + n, જ્યાં "a" કોઈપણ સંખ્યા છે, અને "m", "n" કોઈપણ કુદરતી સંખ્યાઓ છે.

સત્તાનો આ ગુણધર્મ ત્રણ કે તેથી વધુ શક્તિઓના ઉત્પાદનને પણ લાગુ પડે છે.

• અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• તેને ડિગ્રી તરીકે રજૂ કરો.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• તેને ડિગ્રી તરીકે રજૂ કરો.
  (0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે ઉલ્લેખિત ગુણધર્મમાં આપણે ફક્ત સમાન આધારો સાથે શક્તિઓના ગુણાકાર વિશે વાત કરી રહ્યા હતા.. તે તેમના ઉમેરાને લાગુ પડતું નથી.

તમે સરવાળા (3 3 + 3 2) ને 3 5 થી બદલી શકતા નથી. આ સમજી શકાય તેવું છે જો
ગણતરી કરો (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, અને 3 5 = 243

મિલકત નંબર 2
આંશિક ડિગ્રી

સમાન આધાર સાથે શક્તિઓનું વિભાજન કરતી વખતે, આધાર યથાવત રહે છે, અને વિભાજકના ઘાતાંકને ડિવિડન્ડના ઘાતાંકમાંથી બાદ કરવામાં આવે છે.

• ગુણાંકને શક્તિ તરીકે લખો
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• ગણતરી કરો.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
ઉદાહરણ. સમીકરણ ઉકેલો. આપણે ભાગલાકાર શક્તિઓની મિલકતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
3 8: t = 3 4

જવાબ: t = 3 4 = 81

પ્રોપર્ટીઝ નંબર 1 અને નંબર 2 નો ઉપયોગ કરીને, તમે સરળતાથી અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવી શકો છો અને ગણતરીઓ કરી શકો છો.

ઉદાહરણ. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m −3 = 4 2m + 5

ઉદાહરણ. ઘાતાંકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે પ્રોપર્ટી 2 માં અમે ફક્ત સમાન પાયા સાથે શક્તિઓને વિભાજિત કરવાની વાત કરી રહ્યા હતા.

તમે તફાવત (4 3 −4 2) ને 4 1 થી બદલી શકતા નથી. જો તમે (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, અને 4 1 = 4 ની ગણતરી કરો તો આ સમજી શકાય છે.

મિલકત નંબર 3
સત્તામાં ડિગ્રી વધારવી

જ્યારે ઘાતમાં ડિગ્રી વધારતી હોય, ત્યારે ડિગ્રીનો આધાર યથાવત રહે છે, અને ઘાતાંકનો ગુણાકાર થાય છે.

(a n) m = a n · m, જ્યાં “a” કોઈપણ સંખ્યા છે અને “m”, “n” કોઈપણ કુદરતી સંખ્યાઓ છે.

અમે તમને યાદ અપાવીએ છીએ કે ભાગને અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. તેથી, અમે આગલા પૃષ્ઠ પર વધુ વિગતમાં અપૂર્ણાંકને શક્તિમાં વધારવાના વિષય પર ધ્યાન આપીશું.

શક્તિઓનો ગુણાકાર કેવી રીતે કરવો

શક્તિઓનો ગુણાકાર કેવી રીતે કરવો? કઈ શક્તિઓનો ગુણાકાર થઈ શકે છે અને કઈ નથી? સંખ્યાને પાવર દ્વારા કેવી રીતે ગુણાકાર કરવી?

બીજગણિતમાં, તમે બે કિસ્સાઓમાં શક્તિઓનું ઉત્પાદન શોધી શકો છો:

1) જો ડિગ્રી સમાન પાયા ધરાવે છે;

2) જો ડિગ્રીમાં સમાન સૂચકાંકો હોય.

સમાન પાયા સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરતી વખતે, આધાર સમાન છોડવો જોઈએ, અને ઘાતાંક ઉમેરવા જોઈએ:

સમાન સૂચકાંકો સાથે ડિગ્રીનો ગુણાકાર કરતી વખતે, એકંદર સૂચક કૌંસમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:

ચાલો ચોક્કસ ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને શક્તિઓનો ગુણાકાર કેવી રીતે કરવો તે જોઈએ.

એકમ ઘાતાંકમાં લખાયેલું નથી, પરંતુ જ્યારે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેઓ ધ્યાનમાં લે છે:

ગુણાકાર કરતી વખતે, ત્યાં કોઈપણ સંખ્યાની શક્તિઓ હોઈ શકે છે. તે યાદ રાખવું જોઈએ કે તમારે અક્ષર પહેલાં ગુણાકારની નિશાની લખવાની જરૂર નથી:

અભિવ્યક્તિઓમાં, ઘાતીકરણ પ્રથમ કરવામાં આવે છે.

જો તમારે સંખ્યાને ઘાત વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર હોય, તો તમારે પહેલા ઘાતાંક કરવું જોઈએ અને પછી જ ગુણાકાર કરવો જોઈએ:

સમાન પાયા સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર

આ વિડિઓ ટ્યુટોરીયલ સબ્સ્ક્રિપ્શન દ્વારા ઉપલબ્ધ છે

પહેલેથી સબ્સ્ક્રિપ્શન છે? લૉગિન કરો

આ પાઠમાં આપણે સમાન આધારો સાથે શક્તિઓના ગુણાકારનો અભ્યાસ કરીશું. પ્રથમ, ચાલો ડિગ્રીની વ્યાખ્યા યાદ કરીએ અને સમાનતાની માન્યતા પર એક પ્રમેય ઘડીએ. . પછી અમે ચોક્કસ સંખ્યાઓ પર તેની અરજીના ઉદાહરણો આપીશું અને તેને સાબિત કરીશું. અમે ઉકેલ માટે પ્રમેય પણ લાગુ કરીશું વિવિધ કાર્યો.

વિષય: કુદરતી ઘાતાંક અને તેના ગુણધર્મો સાથેની શક્તિ

પાઠ: સમાન પાયા સાથે શક્તિનો ગુણાકાર (સૂત્ર)

1. મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ

મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ:

n- ઘાતાંક,

— nસંખ્યાની મી શક્તિ.

2. પ્રમેયનું નિવેદન 1

પ્રમેય 1.કોઈપણ નંબર માટે એઅને કોઈપણ કુદરતી nઅને kસમાનતા સાચી છે:

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો: જો એ- કોઈપણ સંખ્યા; nઅને kકુદરતી સંખ્યાઓ, પછી:

તેથી નિયમ 1:

3. સમજૂતીત્મક કાર્યો

નિષ્કર્ષ:વિશેષ કેસોએ પ્રમેય નંબર 1 ની સાચીતાની પુષ્ટિ કરી. ચાલો તેને સામાન્ય કેસમાં સાબિત કરીએ, એટલે કે, કોઈપણ માટે એઅને કોઈપણ કુદરતી nઅને k

4. પ્રમેય 1 નો પુરાવો

નંબર આપ્યો એ- કોઈપણ; સંખ્યાઓ nઅને k -કુદરતી સાબિત કરો:

પુરાવો ડિગ્રીની વ્યાખ્યા પર આધારિત છે.

5. પ્રમેય 1 નો ઉપયોગ કરીને ઉદાહરણો ઉકેલવા

ઉદાહરણ 1:તેને ડિગ્રી તરીકે વિચારો.

નીચેના ઉદાહરણો ઉકેલવા માટે, આપણે પ્રમેય 1 નો ઉપયોગ કરીશું.

અને)

6. પ્રમેય 1 નું સામાન્યીકરણ

અહીં વપરાયેલ સામાન્યીકરણ:

7. પ્રમેય 1 ના સામાન્યીકરણનો ઉપયોગ કરીને ઉદાહરણો ઉકેલવા

8. પ્રમેય 1 નો ઉપયોગ કરીને વિવિધ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

ઉદાહરણ 2:ગણતરી કરો (તમે મૂળભૂત શક્તિઓના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરી શકો છો).

અ) (કોષ્ટક મુજબ)

b)

ઉદાહરણ 3:તેને આધાર 2 સાથે પાવર તરીકે લખો.

અ)

ઉદાહરણ 4:નંબરનું ચિહ્ન નક્કી કરો:

, એ -ઋણ, કારણ કે -13 પર ઘાતાંક વિષમ છે.

ઉદાહરણ 5:(·) ને આધાર સાથે સંખ્યાની શક્તિથી બદલો આર:

અમારી પાસે છે, એટલે કે.

9. સારાંશ

1. ડોરોફીવ જી.વી., સુવોરોવા એસ.બી., બુનિમોવિચ ઇ.એ. અને અન્ય બીજગણિત 7. 6મી આવૃત્તિ. એમ.: જ્ઞાન. 2010

1. શાળા સહાયક (સ્રોત).

1. શક્તિ તરીકે પ્રસ્તુત કરો:

એ) બી) સી) ડી) ઇ)

3. આધાર 2 સાથે પાવર તરીકે લખો:

4. સંખ્યાની નિશાની નક્કી કરો:

અ)

5. (·) ને આધાર સાથે સંખ્યાની શક્તિથી બદલો આર:

a) r 4 · (·) = r 15; b) (·) · r 5 = r 6

સમાન ઘાતાંક સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર અને ભાગાકાર

આ પાઠમાં આપણે સમાન ઘાતાંક સાથે શક્તિઓના ગુણાકારનો અભ્યાસ કરીશું. પ્રથમ, ચાલો સમાન આધારો સાથે સત્તાઓના ગુણાકાર અને વિભાજન વિશેની મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ અને પ્રમેયને યાદ કરીએ અને સત્તાઓને સત્તામાં વધારો કરીએ. પછી આપણે સમાન ઘાતાંક સાથે શક્તિઓના ગુણાકાર અને ભાગાકાર પર પ્રમેય ઘડીએ છીએ અને સાબિત કરીએ છીએ. અને પછી તેમની સહાયથી અમે સંખ્યાબંધ લાક્ષણિક સમસ્યાઓ હલ કરીશું.

મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ અને પ્રમેયની રીમાઇન્ડર

અહીં a- ડિગ્રીનો આધાર,

— nસંખ્યાની મી શક્તિ.

પ્રમેય 1.કોઈપણ નંબર માટે એઅને કોઈપણ કુદરતી nઅને kસમાનતા સાચી છે:

જ્યારે સમાન આધારો સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઘાતાંક ઉમેરવામાં આવે છે, આધાર યથાવત રહે છે.

પ્રમેય 2.કોઈપણ નંબર માટે એઅને કોઈપણ કુદરતી nઅને k,જેમ કે n > kસમાનતા સાચી છે:

સમાન પાયા સાથે ડિગ્રીને વિભાજિત કરતી વખતે, ઘાતાંક બાદ કરવામાં આવે છે, પરંતુ આધાર યથાવત રહે છે.

પ્રમેય 3.કોઈપણ નંબર માટે એઅને કોઈપણ કુદરતી nઅને kસમાનતા સાચી છે:

સૂચિબદ્ધ તમામ પ્રમેય સમાન શક્તિઓ વિશે હતા કારણો, આ પાઠમાં આપણે સમાન સાથે ડિગ્રી જોઈશું સૂચક.

સમાન ઘાતાંક વડે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરવાના ઉદાહરણો

નીચેના ઉદાહરણોનો વિચાર કરો:

ચાલો ડિગ્રી નક્કી કરવા માટે સમીકરણો લખીએ.

નિષ્કર્ષ:ઉદાહરણો પરથી તે જોઈ શકાય છે , પરંતુ આ હજુ પણ સાબિત કરવાની જરૂર છે. ચાલો આપણે પ્રમેય ઘડીએ અને તેને સામાન્ય કિસ્સામાં, એટલે કે, કોઈપણ માટે સાબિત કરીએ એઅને bઅને કોઈપણ કુદરતી n

પ્રમેય 4 ની રચના અને પુરાવો

કોઈપણ નંબરો માટે એઅને bઅને કોઈપણ કુદરતી nસમાનતા સાચી છે:

પુરાવોપ્રમેય 4 .

ડિગ્રીની વ્યાખ્યા દ્વારા:

તેથી અમે તે સાબિત કર્યું છે .

સમાન ઘાતાંક સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરવા માટે, તે પાયાનો ગુણાકાર કરવા અને ઘાતાંકને અપરિવર્તિત છોડવા માટે પૂરતું છે.

પ્રમેય 5 ની રચના અને પુરાવો

ચાલો સમાન ઘાતાંક સાથે શક્તિઓનું વિભાજન કરવા માટે એક પ્રમેય ઘડીએ.

કોઈપણ નંબર માટે એઅને b() અને કોઈપણ કુદરતી nસમાનતા સાચી છે:

પુરાવોપ્રમેય 5 .

ચાલો ડિગ્રીની વ્યાખ્યા લખીએ:

શબ્દોમાં પ્રમેયનું નિવેદન

તેથી, અમે તે સાબિત કર્યું છે.

સમાન ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓને એકબીજામાં વિભાજીત કરવા માટે, એક આધારને બીજા દ્વારા વિભાજીત કરવા અને ઘાતાંકને અપરિવર્તિત રાખવા માટે તે પૂરતું છે.

પ્રમેય 4 નો ઉપયોગ કરીને લાક્ષણિક સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

ઉદાહરણ 1:શક્તિઓના ઉત્પાદન તરીકે પ્રસ્તુત કરો.

નીચેના ઉદાહરણો ઉકેલવા માટે, આપણે પ્રમેય 4 નો ઉપયોગ કરીશું.

નીચેના ઉદાહરણને ઉકેલવા માટે, સૂત્રો યાદ કરો:

પ્રમેય 4 નું સામાન્યીકરણ

પ્રમેય 4 નું સામાન્યીકરણ:

સામાન્યકૃત પ્રમેય 4 નો ઉપયોગ કરીને ઉદાહરણો ઉકેલવા

લાક્ષણિક સમસ્યાઓ હલ કરવાનું ચાલુ રાખવું

ઉદાહરણ 2:તેને ઉત્પાદનની શક્તિ તરીકે લખો.

ઉદાહરણ 3:ઘાત 2 સાથે ઘાત તરીકે લખો.

ગણતરી ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 4:સૌથી તર્કસંગત રીતે ગણતરી કરો.

2. મર્ઝલ્યાક એ.જી., પોલોન્સકી વી.બી., યાકીર એમ.એસ. બીજગણિત 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. અને અન્ય બીજગણિત 7.M.: જ્ઞાન. 2006

2. શાળા સહાયક (સ્રોત).

1. શક્તિઓના ઉત્પાદન તરીકે પ્રસ્તુત કરો:

એ); b) ; વી) ; જી) ;

2. ઉત્પાદનની શક્તિ તરીકે લખો:

3. ઘાત 2 સાથે ઘાત તરીકે લખો:

4. સૌથી તર્કસંગત રીતે ગણતરી કરો.

"સત્તાઓનો ગુણાકાર અને વિભાજન" વિષય પર ગણિતનો પાઠ

વિભાગો:ગણિત

શિક્ષણશાસ્ત્રીય ધ્યેય:

કાર્યો:

શિક્ષણના પ્રવૃત્તિ એકમો:કુદરતી સૂચક સાથે ડિગ્રીનું નિર્ધારણ; ડિગ્રી ઘટકો; ખાનગીની વ્યાખ્યા; ગુણાકારનો સંયુક્ત કાયદો.

I. હાલના જ્ઞાનમાં વિદ્યાર્થીઓની નિપુણતાના પ્રદર્શનનું આયોજન કરવું. (પગલું 1)

a) જ્ઞાન અપડેટ કરવું:

2) કુદરતી ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની વ્યાખ્યા બનાવો.

a n = a a a a … a (n વખત)

b k = b b b b a… b (k વખત) જવાબને યોગ્ય ઠેરવો.

II. વર્તમાન અનુભવમાં વિદ્યાર્થીની નિપુણતાની ડિગ્રીના સ્વ-મૂલ્યાંકનનું સંગઠન. (પગલું 2)

સ્વ-પરીક્ષણ: (બે સંસ્કરણોમાં વ્યક્તિગત કાર્ય.)

A1) ઉત્પાદન 7 7 7 7 x x x પાવર તરીકે પ્રસ્તુત કરો:

A2) પાવર (-3) 3 x 2 ને ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરો

A3) ગણતરી કરો: -2 3 2 + 4 5 3

હું વર્ગની તૈયારીના સ્તર અનુસાર પરીક્ષણમાં કાર્યોની સંખ્યા પસંદ કરું છું.

હું તમને સ્વ-પરીક્ષણ માટે પરીક્ષણની ચાવી આપું છું. માપદંડ: પાસ - પાસ નહીં.

III. શૈક્ષણિક અને વ્યવહારુ કાર્ય (પગલું 3) + પગલું 4. (વિદ્યાર્થીઓ પોતે ગુણધર્મો ઘડશે)

સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે 1) અને 2), વિદ્યાર્થીઓ ઉકેલનો પ્રસ્તાવ મૂકે છે, અને હું, શિક્ષક તરીકે, સમાન પાયા સાથે ગુણાકાર કરતી વખતે શક્તિઓને સરળ બનાવવાનો માર્ગ શોધવા માટે વર્ગનું આયોજન કરું છું.

શિક્ષક: સમાન પાયા સાથે ગુણાકાર કરતી વખતે શક્તિઓને સરળ બનાવવાની રીત સાથે આવો.

ક્લસ્ટર પર એક એન્ટ્રી દેખાય છે:

પાઠનો વિષય ઘડવામાં આવ્યો છે. શક્તિઓનો ગુણાકાર.

શિક્ષક: સમાન પાયા સાથે શક્તિઓનું વિભાજન કરવા માટેનો નિયમ લાવો.

તર્ક: વિભાજન તપાસવા માટે કઈ ક્રિયાનો ઉપયોગ થાય છે? a 5: a 3 = ? કે a 2 a 3 = a 5

હું ડાયાગ્રામ પર પાછો ફરું છું - એક ક્લસ્ટર અને એન્ટ્રીમાં ઉમેરો - .. જ્યારે ભાગાકાર કરીએ છીએ, ત્યારે અમે પાઠનો વિષય બાદ કરીએ છીએ અને ઉમેરીએ છીએ. ...અને ડિગ્રીઓનું વિભાજન.

IV. વિદ્યાર્થીઓને જ્ઞાનની મર્યાદાઓ (લઘુત્તમ અને વધુમાં વધુ) જણાવવી.

શિક્ષક: આજના પાઠ માટે લઘુત્તમ કાર્ય એ જ આધારો સાથે ગુણાકાર અને ભાગાકારના ગુણધર્મોને લાગુ કરવાનું શીખવાનું છે, અને મહત્તમ કાર્ય એકસાથે ગુણાકાર અને ભાગાકારને લાગુ કરવાનું છે.

અમે બોર્ડ પર લખીએ છીએ : a m a n = a m + n ; a m: a n = a m-n

V. નવી સામગ્રીના અભ્યાસનું સંગઠન. (પગલું 5)

a) પાઠ્યપુસ્તક મુજબ: નંબર 403 (a, c, e) વિવિધ શબ્દો સાથેના કાર્યો

નંબર 404 (a, d, f) સ્વતંત્ર કાર્ય, પછી હું મ્યુચ્યુઅલ ચેક ગોઠવું છું અને ચાવી આપું છું.

b) m ના કયા મૂલ્ય માટે સમાનતા માન્ય છે? a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

સોંપણી: વિભાજન માટે સમાન ઉદાહરણો સાથે આવો.

c) નંબર 417 (a), નંબર 418 (a) વિદ્યાર્થીઓ માટે ફાંસો: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 = a 2.

VI. જે શીખ્યા તેનો સારાંશ આપવો, ડાયગ્નોસ્ટિક કાર્ય હાથ ધરવું (જે વિદ્યાર્થીઓને પ્રોત્સાહિત કરે છે, શિક્ષકને નહીં, આ વિષયનો અભ્યાસ કરવા) (પગલું 6)

ડાયગ્નોસ્ટિક કાર્ય.

ટેસ્ટ(ચાવીઓ મૂકો પાછળની બાજુપરીક્ષણ).

કાર્ય વિકલ્પો: ભાગ x 15 ને શક્તિ તરીકે રજૂ કરો: x 3; ઉત્પાદનને શક્તિ તરીકે રજૂ કરો (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; કયા m માટે સમાનતા a 16 a m = a 32 માન્ય છે? h = 0.2 પર h 0: h 2 અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો; અભિવ્યક્તિની કિંમતની ગણતરી કરો (5 2 5 0): 5 2.

પાઠ સારાંશ. પ્રતિબિંબ.હું વર્ગને બે જૂથોમાં વહેંચું છું.

જૂથ I માં દલીલો શોધો: ડિગ્રીના ગુણધર્મો જાણવાની તરફેણમાં, અને જૂથ II - દલીલો જે કહેશે કે તમે ગુણધર્મો વિના કરી શકો છો. અમે બધા જવાબો સાંભળીએ છીએ અને તારણો કાઢીએ છીએ. અનુગામી પાઠોમાં, તમે આંકડાકીય માહિતી ઑફર કરી શકો છો અને રૂબ્રિકને "તે ક્રેઝી છે!" કહી શકો છો.

VII. હોમવર્ક.

ઐતિહાસિક માહિતી. કઈ સંખ્યાઓને ફર્મટ નંબર્સ કહેવામાં આવે છે.

પૃ.19. નંબર 403, નંબર 408, નંબર 417

વપરાયેલ સાહિત્ય:

ડિગ્રીના ગુણધર્મો, ફોર્મ્યુલેશન, પુરાવા, ઉદાહરણો.

સંખ્યાની શક્તિ નિર્ધારિત કર્યા પછી, તેના વિશે વાત કરવી તાર્કિક છે ડિગ્રી ગુણધર્મો. આ લેખમાં આપણે તમામ સંભવિત ઘાતાંકને સ્પર્શ કરતી વખતે સંખ્યાની શક્તિના મૂળભૂત ગુણધર્મો આપીશું. અહીં અમે ડિગ્રીના તમામ ગુણધર્મોના પુરાવા આપીશું, અને ઉદાહરણો ઉકેલતી વખતે આ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કેવી રીતે થાય છે તે પણ બતાવીશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

કુદરતી ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના ગુણધર્મો

પ્રાકૃતિક ઘાતાંક સાથેની શક્તિની વ્યાખ્યા પ્રમાણે, પાવર a n એ n પરિબળોનું ઉત્પાદન છે, જેમાંથી દરેક a ની બરાબર છે. આ વ્યાખ્યાના આધારે, અને તેનો ઉપયોગ કરીને વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગુણાકારના ગુણધર્મો, અમે નીચેનાને મેળવી શકીએ છીએ અને તેને ન્યાયી ઠેરવી શકીએ છીએ કુદરતી ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના ગુણધર્મો:

તે સ્પષ્ટ છે કે અન્ય જથ્થાઓની જેમ સત્તાઓ સાથેની સંખ્યાઓ ઉમેરી શકાય છે , તેમને તેમના ચિહ્નો સાથે એક પછી એક ઉમેરીને.

તેથી, a 3 અને b 2 નો સરવાળો એ 3 + b 2 છે.
a 3 - b n અને h 5 -d 4 નો સરવાળો a 3 - b n + h 5 - d 4 છે.

મતભેદ સમાન ચલોની સમાન ડિગ્રીઉમેરી અથવા બાદ કરી શકાય છે.

તેથી, 2a 2 અને 3a 2 નો સરવાળો 5a 2 બરાબર છે.

તે પણ સ્પષ્ટ છે કે જો તમે બે ચોરસ a, અથવા ત્રણ ચોરસ a, અથવા પાંચ ચોરસ a લો છો.

પરંતુ ડિગ્રીઓ વિવિધ ચલોઅને વિવિધ ડિગ્રીઓ સમાન ચલો, તેમને તેમના ચિહ્નો સાથે ઉમેરીને કંપોઝ કરવું આવશ્યક છે.

તેથી, a 2 અને a 3 નો સરવાળો એ 2 + a 3 નો સરવાળો છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે a નો વર્ગ અને a નો ઘન, a ના ચોરસના બમણા સમાન નથી, પરંતુ a ના ઘન ના બમણા સમાન છે.

a 3 b n અને 3a 5 b 6 નો સરવાળો a 3 b n + 3a 5 b 6 છે.

બાદબાકીવધારાની જેમ જ સત્તાઓ હાથ ધરવામાં આવે છે, સિવાય કે સબટ્રાહેન્ડ્સના ચિહ્નો તે મુજબ બદલાવા જોઈએ.

અથવા:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

ગુણાકાર શક્તિઓ

અન્ય જથ્થાઓની જેમ, એક પછી એક લખીને, તેમની વચ્ચે ગુણાકારની ચિહ્ન સાથે અથવા તેના વગર સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરી શકાય છે.

આમ, 3 ને b 2 વડે ગુણાકાર કરવાનું પરિણામ એ 3 b 2 અથવા aaabb છે.

અથવા:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

છેલ્લા ઉદાહરણમાં પરિણામ સમાન ચલો ઉમેરીને ઓર્ડર કરી શકાય છે.
અભિવ્યક્તિ ફોર્મ લેશે: a 5 b 5 y 3.

સંખ્યાબંધ સંખ્યાઓ (ચલો) ને શક્તિઓ સાથે સરખાવીને, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે જો તેમાંથી કોઈપણ બેનો ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો પરિણામ એ સંખ્યા (ચલ) છે જેની શક્તિ સમાન છે. રકમશરતોની ડિગ્રી.

તેથી, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

અહીં 5 એ ગુણાકારના પરિણામની શક્તિ છે, જે 2 + 3 ની બરાબર છે, શરતોની શક્તિઓનો સરવાળો છે.

તેથી, a n .a m = a m+n .

n માટે , a એ n ની ઘાત જેટલી વખત અવયવ તરીકે લેવામાં આવે છે;

અને ડિગ્રી m જેટલી હોય તેટલી વખત એક m અવયવ તરીકે લેવામાં આવે છે;

તેથી જ, સમાન આધારો સાથેની શક્તિઓનો ઘાતાંક ઉમેરીને ગુણાકાર કરી શકાય છે.

તેથી, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . અને x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

અથવા:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

ગુણાકાર કરો (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
જવાબ: x 4 - y 4.
ગુણાકાર કરો (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

આ નિયમ સંખ્યાઓ માટે પણ સાચો છે જેના ઘાતાંક છે નકારાત્મક.

1. તેથી, a -2 .a -3 = a -5 . આને (1/aa) તરીકે લખી શકાય.(1/aaa) = 1/aaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

જો a + b ને a - b વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે તો પરિણામ 2 - b 2 આવશે: એટલે કે

બે સંખ્યાઓના સરવાળા અથવા તફાવતને ગુણાકાર કરવાનું પરિણામ તેમના વર્ગોના સરવાળા અથવા તફાવતની બરાબર છે.

જો તમે વધેલી બે સંખ્યાઓનો સરવાળો અને તફાવતનો ગુણાકાર કરો ચોરસ, પરિણામ આ સંખ્યાઓના સરવાળા અથવા તફાવતની બરાબર હશે ચોથુંડિગ્રી

તેથી, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

ડિગ્રીઓનું વિભાજન

ડિવિડન્ડમાંથી બાદબાકી કરીને અથવા તેને અપૂર્ણાંક સ્વરૂપમાં મૂકીને સત્તાઓ ધરાવતી સંખ્યાઓને અન્ય સંખ્યાઓની જેમ વિભાજિત કરી શકાય છે.

આમ, a 3 b 2 ભાગ્યા b 2 એ 3 બરાબર છે.

અથવા:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5 ને 3 વડે ભાગ્યા લખવું એ $\frac(a^5)(a^3)$ જેવું લાગે છે. પરંતુ આ 2 બરાબર છે. સંખ્યાઓની શ્રેણીમાં
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
કોઈપણ સંખ્યાને બીજા વડે ભાગી શકાય છે, અને ઘાતાંક બરાબર હશે તફાવતવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સૂચક.

સમાન આધાર સાથે ડિગ્રીને વિભાજિત કરતી વખતે, તેમના ઘાતાંક બાદ કરવામાં આવે છે..

તેથી, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. એટલે કે, $\frac(yyy)(yy) = y$.

અને n+1:a = a n+1-1 = a n . એટલે કે, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

અથવા:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

સાથેની સંખ્યાઓ માટે પણ નિયમ સાચો છે નકારાત્મકડિગ્રીના મૂલ્યો.
a -5 ને a -3 વડે ભાગવાનું પરિણામ a -2 છે.
ઉપરાંત, $\frac(1)(aaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 અથવા $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

શક્તિઓના ગુણાકાર અને વિભાજનમાં ખૂબ જ સારી રીતે નિપુણતા મેળવવી જરૂરી છે, કારણ કે આવી કામગીરી બીજગણિતમાં ખૂબ વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે.

સત્તાઓ સાથે સંખ્યાઓ ધરાવતા અપૂર્ણાંકો સાથે ઉદાહરણો ઉકેલવાના ઉદાહરણો

1. $\frac(5a^4)(3a^2)$ દ્વારા ઘાતાંકમાં ઘટાડો કરો જવાબ: $\frac(5a^2)(3)$.

2. ઘાતાંકમાં $\frac(6x^6)(3x^5)$ દ્વારા ઘટાડો. જવાબ: $\frac(2x)(1)$ અથવા 2x.

3. 2 /a 3 અને a -3 /a -4 ઘાતાંક ઘટાડીને સામાન્ય છેદ પર લાવો.
a 2 .a -4 એ -2 પ્રથમ અંશ છે.
a 3 .a -3 એ 0 = 1 છે, બીજો અંશ.
a 3 .a -4 એ -1 છે, સામાન્ય અંશ.
સરળીકરણ પછી: a -2 /a -1 અને 1/a -1 .

4. ઘાતાંક 2a 4/5a 3 અને 2 /a 4 ને ઘટાડીને સામાન્ય છેદ પર લાવો.
જવાબ: 2a 3/5a 7 અને 5a 5/5a 7 અથવા 2a 3/5a 2 અને 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 ને (a - b)/3 વડે ગુણાકાર કરો.

6. (a 5 + 1)/x 2 ને (b 2 - 1)/(x + a) વડે ગુણાકાર કરો.

7. b 4 /a -2 ને h -3 /x અને a n /y -3 વડે ગુણાકાર કરો.

8. 4 /y 3 ને 3 /y 2 વડે ભાગો. જવાબ: a/y.

9. ભાગાકાર (h 3 - 1)/d 4 દ્વારા (d n + 1)/h.